Метод касательных решения нелинейных уравнений (стр. 1 из 2)
Пензенский приборостроительный колледж
 |
на тему:
Метод касательных решения нелинейных уравнений
Выполнил: Ст-т 22п группы ЛЯПИН Р.Н.
Проверила: ______________
Ковылкино – 1999 г.
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
студент Ляпин Р.Н. группа 22п
1. Тема: "Метод касательных решения нелинейных уравнений".
2. Изучить теоретический материал по заданной теме.
3. Составить блок схему алгоритма решения задачи .
4. Написать программу на языке Турбо-Паскаль для решения задачи в общем виде.
5. Выполнить программу с конкретными значениями исходных данных.
6. Определить корни уравнения х3 + 0,1 * х2 + 0,4 * х – 1,2 = 0 аналитически и уточнить один из них с точностью до 0,000001 методом касательных
7. Срок представления работы к защите: 10 мая 1999 г.
8. Исходные данные для исследования: научная и техническая литература.
Руководитель курсовой работы:Кривозубова С.А.
Задание принял к исполнению:Ляпин Р.Н.
РЕФЕРАТ
Курсовая работа содержит: страниц, 1 график, 5 источников.
Перечень ключевых понятий: производная, метод касательных, программирование, нелинейное уравнение.
Объект исследования: Корни нелинейного уравнения.
Цель работы: Определение корней нелинейного уравнения.
Методы исследования: изучение работ отечественных и зарубежных авторов по данной теме.
Полученные результаты: изучен метод касательных решения нелинейных уравнений; рассмотрена возможность составления программы на языке программирования Турбо-Паскаль 7.0
Область применения: в работе инженера.
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ........................................ 5
1. Краткое описание сущности метода касательных
( метода секущих Ньютона).................... 7
2. Решение нелинейного уравнения аналитически .. 9
3. Блок схема программы ........................11
4. Программа на языке PASCAL 7.0 ............... 12
5. Результаты выполнения программы ............. 13
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННИХ ИСТОЧНИКОВ ............... 14
ВВЕДЕНИЕ
Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов:
1. Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем или получается им в виде задания).
2. Математическая формулировка задачи.
3. Разработка алгоритма решения задачи.
4. Написание программы на языке программирования.
5. Подготовка исходных данных .
6. Ввод программы и исходных данных в ЭВМ.
7. Отладка программы.
8. Тестирование программы.
9. Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов.
В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ. Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах. Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами: детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже результату; массовость, позволяющей получать результат при различных исходных данных; результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число шагов.
Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию.
Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80.
На этапе 4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач.
Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание.
В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея.
Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения.
Задание при обработке на ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение.
Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия.
1. Краткое описание сущности метода касательных
( метода секущих Ньютона)
Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f ’ и f ”.
Так как f ’(x) 0 , то запишем уравнение f (x) = 0 в виде :
x = x – ( f (x) / f ’(x)) (1)
Решая его методом итераций можем записать :
xn+1 = x n– ( f (x n) / f ’(x n)) (2)
Если на отрезке [a;b] f ’(x) * f “(x) > 0, то нул – евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид :
y = f (b) + f ’(b) * (x –b)
Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x) 0, решаем его относительно x. Получим :
x = b – (f (b) /f ‘(b))
Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox :
x1 = b – (f (b) – f ’ (b))
Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox :
x2 = x1 – (f (x1) / ( f ’(x1))
Вообще :
xk+1= x k – ( f (x k) / f ’(x k)) (3)
Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.
Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f ’, f ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f ’(х0) * f (х0) > 0. Для оценки приближения используется общая формула :
|c-x k-1 | | f (x k+1)/m| , где m = minf ’(x) на отрезке [a;b] .
На практике проще пользоваться другим правилом :
Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k| влечет выполнение неравенства |c-x k-1|
В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство :
|c-x k-1|
2. Решение нелинейного уравнения аналитически
Определим корни уравнения х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2 = 0 аналитически. Находим : f (x) = х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2
f ‘ (x) = 3х2 + 0,1х +0,4
f (–1) = –2,5 < 0 f (0) = –1,2 < 0 f (+1) = 0,3 > 0
| x | - | -1 | 0 | +1 | + |
| sign f (x) | - | - | - | + | + |
Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [ 0; +1 ].
Приведем уравнение к виду x = (x) , так , чтобы | ‘ (x) | <1 при 0 x +1.
Так как max | f ’(x) | = f ’(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5 то можно взять R = 2.
Тогда (x) = x – ( f (x) / R) = x – 0,5 х3– 0,05 х2– 0,2 х + 0,6 = – 0,5 х3– 0,05 х2 + 0,8 х + 0,6.
Пусть х0 = 0 , тогда х n+1= (х n).
Вычисления расположим в таблице.
| n | хn | х2n | х3n | (хn). | f (x) |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0,85 | -0,17363 |
| 2 | 0,85 | 0,7225 | 0,614125 | 0,9368125 | 0,08465 |
| 3 | 0,9368125 | 0,87761766 | 0,822163194 | 0,89448752 | -0,04651 |
| 4 | 0,89448752 | 0,800107923 | 0,715686552 | 0,917741344 | 0,024288 |
| 5 | 0,917741344 | 0,842249174 | 0,772966889 | 0,905597172 | -0,01306 |
| 6 | 0,905597172 | 0,820106238 | 0,74268589 | 0,912129481 | 0,006923 |
| 7 | 0,912129481 | 0,83198019 | 0,758873659 | 0,908667746 | -0,0037 |
| 8 | 0,908667746 | 0,825677072 | 0,750266124 | 0,910517281 | 0,001968 |
| 9 | 0,910517281 | 0,829041719 | 0,754856812 | 0,909533333 | -0,00105 |
| 10 | 0,909533333 | 0,827250884 | 0,752412253 | 0,910057995 | 0,000559 |
| 11 | 0,910057995 | 0,828205555 | 0,753715087 | 0,909778575 | -0,0003 |
| 12 | 0,909778575 | 0,827697055 | 0,753021048 | 0,909927483 | 0,000159 |
| 13 | 0,909927483 | 0,827968025 | 0,753390861 | 0,909848155 | -8,5E-05 |
| 14 | 0,909848155 | 0,827823665 | 0,753193834 | 0,909890424 | 4,5E-05 |
| 15 | 0,909890424 | 0,827900583 | 0,753298812 | 0,909867904 | -2,4E-05 |
| 16 | 0,909867904 | 0,827859602 | 0,753242881 | 0,909879902 | 1,28E-05 |
| 17 | 0,909879902 | 0,827881437 | 0,753272681 | 0,90987351 | -6,8E-06 |
| 18 | 0,90987351 | 0,827869803 | 0,753256804 | 0,909876916 | 3,63E-06 |
| 19 | 0,909876916 | 0,827876002 | 0,753265263 | 0,909875101 | -1,9E-06 |
| 20 | 0,909875101 | 0,827872699 | 0,753260756 | 0,909876068 | 1,03E-06 |
График функции y = х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2