Эффекты конечной разрядности и их учет (стр. 1 из 3)
А. Т. Бизин
Сибирская Государственная Академия телекоммуникаций и информатики
Новосибирск 1998 г.
Шум квантования и шумовая модель
Отсчеты сигнала на входе цифровой системы квантуются к ближайшему из разрешенных уровней. Расстояния между смежными уровнями равно шагу квантования D. Шаг квантования и разрядность кодовых слов связаны соотношением
D = 2-b (4.1)
где b - разрядность кодовых слов.
Значение младшего разряда кодовых слов численно равно шагу квантования.
Разность истинного и квантованного числа называется ошибкой квантования. Ошибка квантования е(n) определяется неравенствами:
- при округлении чисел, 
- при усечении чисел. (4.2)На выходе цифровой системы ошибки квантования воспринимаются в виде шума, который называется шумом квантования.
Цифровые умножители наравне с АЦП являются источниками шума квантования; на выходе умножителей длину кодовых слов приходится ограничивать, т.к. разрядность результата перемножения кодовых слов возрастает и равна сумме разрядностей множимого и множителя.
Расчет уровня шума квантования осуществляется по шумовой модели, которая отличается от исходной цепи наличием источников шума квантования на выходе АЦП и каждого из умножителей.
На Рис. 4.1, а приведена в качестве примера шумовая модель цифровой цепи, схема которой показана на Рис. 4.1, б. Обозначения для источников шума:
e0(n) - источник шума от АЦП
ei(n) - источник шума от каждого из Z множителей.
Расчет шумов квантования
Уровень шума квантования можно оценить, например, по величине максимума шума, т.е. оценка шума по условию наихудшего случая, или по величине усредненной энергии шума, т.е. вероятностная оценка шума.
Расчет максимума шума
Шум квантования на выходе цепи от i-го источника шума определяется по формуле свертки
где ei(n) - шум на выходе i-го источника шума,
hi (n) - импульсная характеристика участка цепи от i-го источника шума до выхода цепи.
Максимум шума Еi получается в этом выражении при условии выполнения равенств в формулах (4.2) и совпадении знаков ei (k) и hi (n-k). В результате
- при округлении чисел, 
- при усечении чисел.Максимум шума на выходе цепи Е от всех источников шума определяется суммой максимумов, т.е. наихудший случай, от всех источников шума
(4.3)где D0/2 - максимум шума на выходе АЦП при округлении чисел,
D/2 - максимум шума на выходе каждого из Z умножителей при округлении чисел или условии одинаковой разрядности всех умножителей.
Оценка шума по максимуму приводит к значительному превышению расчетного уровня шума по отношению к реальному. Поэтому чаще применяется вероятностная оценка шума.
Расчет усредненной энергии шума
Шум квантования имеет характер случайной последовательности типа "белый шум". Поэтому дисперсия шума на выходе цепи согласно (2.24), (2.25) определяется формулой
,где
- дисперсия шума на выходе i-го источника шума. Учитывая характер шума, дисперсия шума на выходе источника будет определяться известными формулами: 
- при округлении чисел 
- при усечении чисел (4.4)Следовательно, при округлении чисел
Дисперсия шума от всех источников на выходе цепи, при условии отсутствия корреляции между источниками шума, определяется суммой дисперсий шума от всех источников
(4.5)где
- дисперсия шума на выходе АЦП при округлении чисел. 
- дисперсия шума на выходе каждого из Z множителей при округлении чисел.Вероятностная оценка шума характеризует усредненный уровень энергии шума, поэтому в реальных условиях не исключены кратковременные скачки помехи относительно расчетного значения.
Влияние структуры ЦФ на шум квантования
Уровень шума квантования зависит от добротности полюсов передаточной функции. Добротность К-ого полюса определяется по формуле
(4.6)где rk - радиус полюса, Zk =
(Рис. 4.2, а), Qк = wкТ - угол полюса, wк - частота полюса.Действительно, поскольку Z = epT, то
следовательно
Отсюда
поэтому
Чем выше добротность полюсов, тем выше уровень шумов квантования поскольку высокой добротности соответствует длительная циркуляция сигнала по цепи ОС при условии медленного снижения уровня сигнала с каждым новым обходом петли обратной связи. Но цепь ОС содержит, как правило, умножители, поэтому с каждой новой циркуляцией по цепи ОС сигнал все больше поражается помехой.
Реализация цепи на каскадном принципе позволяет ослабить негативное воздействие полюсов на помехозащищенность сигнала если, с одной стороны, каждому полюсу подобрать в пару ближайший к нему нуль (при совпадении полюса и нуля влияния полюса на шум полностью исключено), с другой стороны - располагать звенья в порядке нарастания добротности полюсов.
Основой каскадной реализации является представление передаточной функции в виде произведения простейших сомножителей в числителе и знаменателе
(4.7)где Z0m - нули H(Z), ZҐm - полюсы H(Z).
Сомножителям 1-го порядка (нули и полюсы - вещественные) соответствуют звенья 1-го порядка, сомножителям 2-го порядка (нули и полюсы - комплексно-сопряженные) соответствуют звенья 2-го порядка. При этом добротность вещественных полюсов тем выше, чем ближе к единичной окружности на плоскости Z располагается полюс.
Пример. Построить цепь на каскадном принципе по известной передаточной функции
H(Z) = 0,8
Решение.
Здесь
= 0,1 ± 0,4, 
= 0,1 ± 0,3Следовательно
что соответствует схеме цепи на рис. 4.2, б.
Реализация на каскадном принципе передаточных функций высокого порядка может привести к значительному снижению уровня шумов квантования по сравнению с реализацией другими структурами цепи.
Квантование коэффициентов. Расчет разрядности
Габариты, вес и стоимость специализированного процессора, предназначенного для обработки сигналов, тем меньше, чем короче кодовые слова и, в частности, кодовые слова, соответствующие коэффициентам цифровой цепи. Кодовые слова коэффициентов имеют, в общем случае, бесконечную разрядность, поэтому разрядность приходится ограничивать в пределах допусков на отклонение от нормы системных характеристик.
Спецпроцессор функционирует в системе чисел с фиксированной запятой. В этом случае дробная часть кодовых слов определяет модуль числа, целая часть - знак числа: знаку плюс соответствует нуль, знаку минус - единица. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную удобно выполнить в форме таблицы, в которой первая клетка отводится исходному числу, остальные клетки - результату перемножения на два дробной части предыдущего числа. Целая часть числа в основных клетках определяет дробную часть двоичного числа.
Пример. Дано десятичное число А(10) = 0,32.
Определить прямой код двоичного числа А(2), если разрядность двоичного числа принять равной 8.
Решение
Заполним таблицу промежуточных расчетов.
| 0,322 | 0,642 | 1,282 | 0,562 | 1,122 | 0,242 | 0,482 | 0,962 | 1,922 | 1,84 |
Отсюда двоичное число А(2) = 0,010100011
Последний - девятый - разряд необходим для округления.
Окончательный результат:
А(2) = 0,01010010 - после округления;
А(2) = 0,01010001 - после усечения.
Оценим погрешность полученных чисел конечной разрядности.
При округлении
А(10)
0*2-1 + 0*2-3 + 1*2-4 + 0*2-5 + 0*2-6 + 1*2-7 + 0*2-8 = 0,3203125