Интуитивное понятие алгоритма и его свойств (стр. 1 из 3)
.
Алгоритм отностится к основным понятиям математики, а поэтому не имеет определения. Часто это понятие формулируют так:"точное предписание о порядке выполнения действий, из заданного фиксированного множества, для решения всех задач, заданного класса".
Рассмотрим подробнее ключевые слова в этой формулировке:
"точное предписание” означает, что предписание однозначно и одинаково понимается всеми исполнителями алгоритма и при одних и тех же исходных данных любой исполнитель всегда получает один и тот же результат;
“из заданного фиксированного множества” означает, что множество действий, используемых в предписании, оговорено заранее и не может меняться в ходе исполнения алгоритма.
“решения всех задач, заданного класса” означает, что это предписание предназначено для решения класса задач, а не одной отдельной задачи. Позднее мы подробнее рассмотрим смысл выражения “класс задач”.
Эта формулировка требует знания таких понятий, как исходные данные, результат, действие, исполнитель, класс задач. Познакомимся с ними на примере алгоритма Евклида нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел:
Исходные данные: n, m - натуральные числа
Результат: НОД (n, m) - натуральное число d, такое, что
Алгоритм:
1. Положи a =n, b = m ; (следующий шаг)
2. Сравни a и b ; (следующий шаг)
3. Если a=b, то a - результат; (стоп)
иначе; (следующий шаг)
4. Если a<b, то поменяй их местами; (следующий шаг)
5. Вычти b из a ; (следующий шаг)
6. Положи a = разность; (перейти к шагу 2)
В этом алгоритме действия обозначены словами: положи, сравни, если_то_иначе, вычти, поменяй_местами, следующий шаг. Все исполнители, реализующие этот алгоритм, должны одинаково понимать смысл этих действий.
Например:
Сравни a и b ;(следующий шаг)
Все исполнители должны “понимать”, что надо сравнить значения, представленные символами а и b, а не сами символы, и перейти к действию 3.
Положи a = разность; (перейти к шагу 2)
Означает, что в качестве текущего значения переменной а надо взять разность между значениями, представленными переменными а и b, вычисленную на предыдущем этапе, и перейти к действию 2.
Последовательность действий, выполняемых исполнителем, образуют процесс. Назовем этот процесс вычислительным процессом. Например, для случая исходных данных n=3, m=2 и алгоритма НОД этот процесс можно описать так:
| значение а | значение b | № действия | |
| 1 | 3 | 2 | 1 |
| 2 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 2 | 3 |
| 4 | 3 | 2 | 4 |
| 5 | 3 | 2 | 5 |
| 6 | 1 | 2 | 6 |
| 7 | 1 | 2 | 2 |
| 8 | 1 | 2 | 3 |
| 9 | 2 | 1 | 4 |
| 10 | 2 | 1 | 5 |
| 11 | 1 | 1 | 6 |
| 12 | 1 | 1 | 2 |
| 13 | 1 | 1 | 3 |
Стоп
Нетрудно видеть разницу между алгоритмом и вычислительным процессом, им порождаемым. Так, например, действие, которое встречается в алгоритме один раз, может быть выполнено несколько раз, а следовательно встретиться неоднократно в описании вычислительного процесса. Примерами такого действия может быть действие 3, либо действие 5, либо 6. В нашем алгоритме, как правило, экземпляры одного и того же действия будут различаться данными (операндами), над которыми совершается это действие. Однако, эти данные могут быть представлены одними и теми же именами.
По алгоритму не всегда можно предсказать вычислительный процесс. Например, не всегда можно предвидеть точно, как много действий будет в вычислительном процессе. Примером тому может служить алгоритм вычисления НОД.
Алгоритм всегда определяет однозначно, какое действие должно быть выполнено следующим, равно как и то, какое действие должно быть выполнено первым. Очередное действие всегда определено однозначно. Именно этой цели служат слова “(cледующий шаг).” Они явно указывают какое действие должно быть выполнено следующим. В силу этого свойства алгоритма, которое называется детерминированность, вычислительный процесс всегда для заданных исходных данных определен однозначно. Таким образом, при одних и тех же исходных данных вычислительный процес будет одним и тем же.
Обычно по умолчанию предполагают “естественный” порядок выполнения действий в алгоритме. Это означает, что если нет явного изменения порядка выполнения действий, то они выполняются последовательно одно за другим, а выполнение алгоритма начинают с первого по порядку действия. Поэтому, в дальнейшем слова “(следующий шаг)” мы будем опускать.
Рассмотрим подробнее понятие действия. В нашем примере присутствуют как минимум два вида действий:
действия над данными (например, сравни, вычти, положи);
действия, изменяющие “естественный” порядок вычислений (например, если - то - иначе; перейди к шагу #).
Если присмотреться внимательней, то мы увидим, что действия вида “сравни”, “вычти” и действия вида “положи ” - это разные действия. Разница между ними в том, что действия первого вида указывают что делать с его операндами, но не указывают где “сохранить” полученный результат. Действия второго вида, наоборот “умалчивают” каким образом получено значение, которое надо “сохранить” в качестве нового значения переменной.
Теперь пристальнее рассмотрим правило окончания алгоритма и выбора результата. В алгоритме могут быть использованы десятки переменных, но результат будет храниться лишь в нескольких. Эти “результирующие” переменные должны быть явно указаны в алгоритме, т.к. в противном случае нет никакой возможности их выявить. Момент, когда в этих переменных сформированы нужные значения, определяет правило окончания алгоритма. Правило окончания всегда формулируется как некоторое условие на множестве текущих значений переменных. Достижение этого условия и означает, что в определенных переменных получен результат. В нашем примере таким условием является равенство текущего значения переменной а текущему значению переменной b.
Итак, сформулируем наши наблюдения в общей форме. Исходные данные - это значения, с которых начинается исполнение алгоритма. Множество исходных данных всегда точно определено. Оно может быть определено явно, перечислением его элементов, либо не явно, в виде системы правил, определяющих конструкцию его элементов. (Этот способ мы рассмотрим позднее).
Данные в алгоритме могут быть представлены переменными (в нашем примере именуемые a и b), либо явно, в виде постоянной величины - константы (в нашем примере n и m), которая не меняет своего значения в конце выполнения алгоритма.
Переменная - это имя, с которым связано конкрентное множество значений. В каждый конкретный момент времени исполнения алгоритма каждая переменная принимает одно конкретное значение, из связанного с ней множества.
Определение 1.1
Типом переменной называется множество возможных ее значений.
Пусть у нас есть множество переменных {vi|i=1,k}. (Примеры!)
Определение 1.2
Состоянием на множестве переменных {vi|i=1,k} называется набор значений этих переменных.
Пусть А - алгоритм, {vi|i=1,k} - набор всех переменных, используемых в этом алгоритме. Добавим к этому набору еще одну переменную p, тип которой есть множество индексов действий в алгоритме. Каждый шаг исполнения алгоритма можно однозначно охарактеризовать сосотоянием на множестве переменных ({vi|i=1,k},p).
Определение 1.3
Вычислительным процессом, порожденным алгоритмом, называется последовательность шагов алгоритма, пройденных при исполнении этого алгоритма.
Определение 1.4
Состоянием вычислительного процесса, порожденного алгоритмом А, называется состояние на множестве переменных ({vi|i=1,k},p), где{vi|i=1,k} - набор всех переменных, используемых в алгоритме А.
Нетрудно видеть, что вычислительный процесс можно описать в виде последовательности его состояний.
Определение 1.5
Терминальным состоянием называется состояние вычислительного процесса, на множестве значений которого выполняется определенное условие - правило окончания алгоритма.
Определение 1.6
Результат - это определенная совокупность значений из терминального состояния вычислительного процесса алгоритма.
Определение 1.7
Действие - переход из одного состояния в другое.
Действительно, если действие связано с преобразованием каких-либо данных, то правильность этого утверждения очевидна. Если же действие связано с изменением “естественного” порядка выполнения действий в алгоритме, то состояние вычислительного процесса меняется все равно, т.к. изменяется значение специальной переменной p - индекс действия.
Рассмотрим еще один пример. Пусть нам надо построить алгоритм для решения следующего класса задач:
вычислить значение выражения
, в точке x=b, гдеaiÎR, bÎR, где R - множество вещественных чисел.
Множество исходных данных:
, где aiÎR, bÎR. 
вектор из n+1 вещественных числа;b - вещественное число.
Результат br:
, где 
Переменные: i - типа целый; х, r - типа вещественный.
Константы:{ai|i=1, n+1}, п.
Нетрудно видеть, что мы имеем дело с классом задач. Ниже приведен алгоритм для этого класса задач.
Алгоритм:
Положи i равным п, x равным b;
Положи r равным
;Умножь r на x;
Положи r равным произведению;