Ветвящиеся циклические процессы (стр. 1 из 2)
Содержание:
Введение. 3
Теория. 4
Практика. 10
Выводы.. 12
Список использованной литературы.. 13
Введение
Случайные процессы в реальной финансово–экономической практике редко бывают марковскими, поскольку на протекание процесса в будущем влияет не только его состояние в текущий момент времени, но и то, как он протекал в прошлом.
Но, тем не менее, использование приближённых моделей на практике позволяет достаточно точно (с определённой точностью) оценивать различные системы. В данной теоретико-практической работе будет рассмотрена теория о ветвящихся циклических процессах, с помощью которой можно предсказывать состояние исследуемой системы в будущем через достаточно длительный промежуток времени.
В процессе данной работы я рассмотрю основные положения теории о ветвящихся циклических процессах; приведу пример задачи, с которой можно столкнуться в реальной жизни, и её решение с помощью рассматриваемой теории.
Теория
Введём основные понятия, с которыми нам предстоит работать. Под системой S будем понимать всякое целостное множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить на независимые подмножества. Если эта система с течением времени t изменяет свои состояния S(t) (всего возможных состояний системы n штук) случайным образом, при чём так, что для каждого момента времени
вероятность состояния S(t) системы S в будущем ( 
) зависит только от её состояния S( ) в настоящем и не зависит от того, как и сколько времени развивался этот процесс в прошлом ( 
), то говорят, что в системе S протекает марковский случайный процесс.Процесс является процессом с непрерывным временем, если в нём система может менять свои состояния в любой случайный момент времени.
Плотностью вероятности перехода системы S из состояния
в состояние 
в момент времени t называется величина 
Если же плотности вероятностей переходов не зависят от времени t, то такой процесс называется однородным.
Марковский процесс, протекающий в системе S с n состояниями, называется ветвящимся циклическим процессом, если его граф состояний имеет вид:
Теорема:
Пусть в системе S протекает ветвящийся циклический однородный марковский процесс с непрерывным временем, причём возможный непосредственный переход из состояния
разветвляется на переходы в состояния 
соответственно с вероятностями 
, сумма которых равна 1: 
(1)Переходы из состояний
сходятся в состояние 
.Тогда финальные вероятности[1]
соответствующих состояний системы S определяются следующими формулами: 
где 
.Доказательство:
Т.к. ветвящийся циклический процесс можно представить в виде обычного циклического процесса и собственно разветвления, то, учитывая свойство циклического процесса, что плотность вероятности перехода из неразветвлённого состояния в соседнее справа равна обратной величине среднего времени пребывания (подряд) системы Sв состоянии
, имеем 
(2)Интенсивность потока уходов из состояния
равна 
, где— 
среднее время пребывания (подряд) системы Sв состоянии . Тогда 
будет представлять собой долю величины , определенную вероятностью qm,m+k: 
(3)Составим по графу (на рис. 1) систему линейных алгебраических уравнений, неизвестными в которой являются финальные вероятности
: 
(4)Подставляя 2 и 3 в 4, получим:
(5)Составим матрицу коэффициентов системы (5) с учетом того, что коэффициент при ртв т-м уравнении в силу (1) равен
, | Столбцы Р | 1 | 2 | 3 | … | m-1 | m | m+1 | m+2 | … | m+i | m+i+1 | m+i+2 | … | n-1 | n |
| Строки |
Проведем следующие элементарные преобразования над строками этой матрицы:
2-ю строку прибавим к 3-й строке;
полученную 3-ю строку прибавим к 4-й строке;
полученную 4-ю строку прибавим к 5-й строке;
и так далее;
полученную (m-1)-ю строку прибавим к m-й строке;
полученную m-ю строку умножим последовательно на
и прибавим соответственно к (m+1)-й, (m+2)-й,..., (m+i)-йстроке;сумму полученных (m+1)-й, (m+2)-й,..., (m+i)-йстрок прибавим к (m+i+1)-й строке, учитывая равенство (1);
полученную (m+i+1)-ю строку прибавим к (m+i+2)-й строке;
полученную (m+i+2) строку прибавим к (m+i+3)-й строке;
и так далее;
полученную (п-1)-ю строку прибавим к п-йстроке.
В результате этих преобразований получим матрицу следующего вида:
Первая и последняя строки этой матрицы пропорциональны, а потому одну из них, например первую, можно отбросить.
Полученная после отбрасывания 1-й строки матрица порождает следующую систему линейных уравнений:
Отсюда финальные вероятности
можно выразить через финальную вероятность 
: 
(6)Подставим выражения (6) в нормировочное условие
и найдем : 
.Откуда
или 
, где . Подставляя найденное выражение в (6) получаем доказываемые формулы.Практика
В наше время любой банк имеет банкоматы в различных точках города для удобства своих клиентов. Для планирования будущих расходов на содержание банкомата применим теорию о ветвящихся циклических процессах.
В качестве системы S возьмём банкомат. Банкомат может находиться в следующих состояниях:
S1 – исправен, работает;
S2 – неисправен, ведётся поиск неисправности;
S3 – неисправность обнаружена и оказалась незначительной, ремонтируется местными средствами;
S4 – неисправность обнаружена и оказалась серьёзной, ремонт ведётся приглашённым со стороны специалистом;
S5 – ремонт законен, ведётся подготовка к включению банкомата.
Процесс, протекающий в системе – однородный, марковский, т.к. все потоки событий, под воздействием которых происходят переходы банкомата из состояния в состояние, - простейшие.
Среднее время исправной работы банкомата[2] равно
месяц; среднее время поиска неисправности банкомата равно 
часа; среднее время ремонта местными средствами равно 
часа; среднее время ремонта банкомата специалистом равно 
дня; среднее время подготовки банкомата к работе 
час.