Використання елементарних перетворень для знаходження оберненої матриці (стр. 1 из 3)

Міністерство освіти і науки України

Факультет інформатики

Курсова робота

Тема:

“Використання елементарних перетворень

для знахожження оберненої матриці ”

Виконав студент ІІ-го курсу

Факультету інформатики

Заочної форми навчання

Науковий керівник:

Ужгород 2009

Зміст

Зміст. 2

Вступ. 3

1. Теория. 4

2. Опис програми. 8

3. Програма. 10

Висновок. 45

Список використаної літератри. 46

Квадратна матриця називається виродженою (для особливої), якщо її визначник дорівнює нулю, і невиродженою (чи неособливої) - у протилежному випадку. Відповідно лінійне перетворення невідомих називається виродженим чи невиродженим у залежності від того, чи буде дорівнює чи нулю відмінний від нуля визначник з коефіцієнтів цього приобразования. З теореми випливає наступне твердження:

Добуток матриць, хоча б одна з яких вироджена, буде вродженою матрицею.

Добуток будь-яких невироджених матриць саме буде невирожденою матрицею. Звідси випливає, через зв'язок, що існує між множенням матриць і послідовним виконанням лінійних перетворень, таке твердження: результат послідовного виконання декількох лінійних перетворень тоді і тільки тоді буде невиродженим перетворенням, якщо всі задані перетворення невироджені.

1. Теория

Добуток матриць, хоча б одна з яких вироджена, буде вродженою матрицею.

Роль одиниці у множенні матриць грає одинична матриця

причому вона перестановочна з будь-якою матрицею А даним порядком

АЕ=ЕА=А (1)

Доводяться ці чи рівності безпосереднім приминением правилаумножения матриць, чи ж на підставі зауваження, що еденичная матриця відповідає тотожному лінійний приобразованию невідомих

x1=y1

x2= y2

... ... ... .

xn= yn

Виконання якого до чи після будь-якого іншого лінійного переутворення, очевидно не змінює цього останнього.

Помітимо, що матриця Е є єдиною матрицею, що задовольняє умові (1) при будь-якій матриці А. Дійсно, якби існувала матриця Е' з цією же властивістю, то ми мали б

E’E=E’, E’E=E,

звідки E’=E.

Питання про існування для даної матирцы А зворотної матриці виявляється болеее складним. Через некомутативности множення матриць ми будемо говорити зараз про праву зворотну матрицю, тоесть про таку зворотну матрицю А-1

Що добуток матриці А праворуч на цю матрицю дає еденичную матрицю,

AA-1=E (2)

Якщо матриця А вырожденная, то, якби матриця А-1 існувала, добуток, що коштує в лівій частині рівності (2), було б, як ми знаємо, вырожденной матрицею, у той час як насправді матриця Е, що коштує в правій частині цієї рівності, є невырожденной, тому що його визначник дорівнює еденице. Таким чином, вырожденная матриця не може мати правої зворотної матриці. Такого ж розуміння показують, сто вона не має і лівої зворотний і тому для вырожденной матриці обратеая матриця воопше не існує.

Переходячи до випадку невырожденной матриці, уведемо спочатку наступне допоміжне поняття. Нехай дана матриця n-го порядку

a11 a12... a1n

a21 a22... a2n

А=... ... ... ... ... ... ... ... .

an1 an1... ann

Матриця

a11 a12... a1n

A*= a21 a22... a2n

... ... ... ... ... ... ... ... .

an1 an1... ann

Складання з алгебраїчних доповнень до елементів матриці А, причому алгебраїчне доповнення до елементу aіj коштує на перетинанні j-й рядка й і-го стовпця, називається приєднаної (чи взаємної) до матриці А.

Знайдемо добуток АА* і А*А. Використовуючи відому формулу розкладання визначника по чи рядку стовпцю, а також теорему про суму добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення до відповідних елементів іншого рядка (стовпця), і позначаючи через d визначник матриці А,

d=|A|,

ми одержимо наступні рівності:

d 0...0

0 d...0

АА*=А*А=... ... ... . . (3)

0 0... d

Звідси випливає, що якщо матриця А невырожденная, те її присоедененная матриця А* також буде невырожденной, причому визначник d* матриці А* дорівнює (n-1) - й ступеня визначника d матриці А.

Справді, переходячи від рівностей (3) до рівності між визначниками, ми одержимо

dd*= dn,

звідки d≠0

d*= dn-1

Тепер можна довести існування зворотної матриці для всякої не виродженої матриці А и знайти її вид. Помітимо спочатку, що якщо ми розглянемо добуток двох матриць АВ і всі елементи одногоиз множників, наприклад У, розділимо на те саме число d, те всі елементи добутку АВ також розділяться на це ж число: для доказу потрібно лише згадати визначення множення матриць. Таки мобразом, якщо

d=|A|≠0

те з рівностей (3) випливає, що зворотною матрицею для А буде служити матриця, що виходить із присоедененной матриці А* розподілом усіх її елементів на d:

Дійсно, з (3) випливають рівності

(4)

Ще раз підкреслимо, що в і-й рядку матриці А-1 коштують алгебраическиедополнения до елементів і-го стовпця визначника |А|, ділені на d=|A|.

Легко довести що матриця А-1 є єдиною матрицею, що задовольняє умові (4) для даної невырожденной матриці А. Дійсно, якщо матриця З така, що

АС=СА=Е

то

САА-1=С(АА-1) =СЕ=С

САА-1=(СА) А-1=ЕА=А-1

Звідки С=А-1.

З (4) і теореми про множення визначників випливає, що визначник матриці А-1 дорівнює, так що ця матриця так само

буде невиродженою. Зворотної для неї служить матриця А.

Якщо тепер дані квадратні матриці n-го порядку А и В, з яких А-невырожденная, а В - довільна, то ми можемо виконати правий і лівий розподіл У на А, тобто, вирішити матричні рівняння

AX=B, YA=B (5)

Для цього, через асоціативності множення матриць, досить покласти

X=A-1B, Y=BA-1,

причому ці рішення рівнянь (5) буду, через некоммутативности множення матриць, у загальному випадку різними.

2. Опис програми

Програма Matrtest. pas являється демо программою, котра показує роботу процедур з модуля Matr. pas.

Модуль програми Matr. pas – в ній розміщені процедури і функції, котрі роблять перетворення матриць.

У файлі – Time. dat записані коефіціенти матриці, розмірність матриці. Він мусить містити в собі початкову матрицю, і її розмірність, тому, що програма без цих даних працювати не буде.

Нижче приведений “скрин” програми, тобто вигляд програми в роботі.

3. Програма

{============================Matrtest. pas=========================}

Uses matr;

Var A,C: MAtrix;

Begin

A. VMT; C. VMT;

Writeln(' Коэффициеты уравнения ');

A. ReadOfText('time',' Коэффициеты уравнения ');

A. WriteToText('con',7,3);

Write('Enter'); Readln;

Writeln('Обращаем матрицу коэффициентов');

C. RevWithGauss(A);

C. WriteToText('con',7,3);

Write('Enter'); Readln;

End.

{============================ Matr. pas ==========================}

{$A+,B-,D-,E-,F+,G+, I-,L-,N+,O-,P-,Q-,R-,S-,T+,V+,X+}

{$M 24000,32,655360}

Unit Matr;

Interface

Const

CTooManySize=1;

CBadPosition=2;

CFileNotFound=3;

CFileError=4;

CReadError=5; {A}

CWriteError=6; {A}

COutOfData=7;

CBadOperands=8;

CMulError=9; {A}

CSearchError=10;

CNotExist=11;

CMNotSquare=12;

CAddError=13; {A}

CReversError=14; {A}

CMDegenerate=15;

CUnkNownError=16;

CMDgError=17; {A}

CMSqrError=18; {A}

CDetError=19; {A}

CSortError=20; {A}

CDGaussError=21; {A}

CCuanZeeroError=22; {A}

CSwapError=23; {A}

CMulToNumError=24; {A}

CStopped=25;

CDegrError=26; {A}

CIgError=27; {A}

CZFE=28;

Type

TOE=Extended;

Ar=Array [1. . (Word(Pred(0)) +1) div SizeOf(TOE)] of TOE;

Ar31=Array [1. .31,1. .31] of TOE;

Ar63=Array [1. .63,1. .63] of TOE;

Tabl=Object

CBars,CLines: Byte;

M: Pointer; {**}

SizeInMemory: Word; {**}

Errors: Set of Byte;

Exist: Boolean;

Constructor VMT;

Procedure DataInit(L,B: Byte); Virtual;

Procedure SetE(I,J: Byte; E: TOE);

Function GetE(I,J: Byte): TOE;

Procedure Del;

Procedure ReadOfText(Name: String; Search: String);

Procedure WriteToText(Name: String; F1,F2: Byte);

Procedure AllClear; Virtual; {}

Procedure Let(Var A); Virtual;

Procedure ZeeroFill;

{ Errors }

Procedure TooManySize; Virtual;

Procedure BadPosition; Virtual;

Procedure FileNotFound; Virtual;

Procedure FileError; Virtual;

Procedure ReadError; Virtual;

Procedure WriteError; Virtual;

Procedure OutOfData; Virtual;

Procedure SearchError; Virtual;

Procedure NotExist; Virtual;

Procedure UnkNownError; Virtual;

Procedure AnyError; Virtual;

Procedure ZFE; Virtual;

End;

Line=Set of Byte;

Mem=Record

mPlus: Boolean;

mDirection: Boolean;

mSortLines: Boolean;

mBeginZeero: Boolean;

mSpecialSort: Boolean;

mGauss: Boolean;

mDetForRev: Boolean;

End;

Matrix=Object(Tabl)

Lin,Bar: Line;

Plus: Boolean;

Direction: Boolean;

SortLines: Boolean;

BeginZeero: Boolean;

SpecialSort: Boolean;

Chek: Integer;

Gauss: Boolean;

DetForRev: Boolean; {ўбҐ Ї а ¬Ґвал - ўгваҐЁҐ}

{Mem}

Procedure AllClear; virtual;

Function SIgn(C: Word): TOE;

Procedure Revers(Var A: Matrix); {®Ўа й Ґв бҐЎп ¬Ґ¤«Ґл¬ бЇ®б®Ў®¬}

Procedure RevWithGauss(Var A: Matrix); {®Ўа й Ґв бҐЎ ў®а®зҐл¬ бЇ®б®Ў®¬}

Procedure InnerRevers(Var A: Matrix); Virtual;

Procedure ZeeroSortBars;

Procedure ZeeroSortLines;

Procedure UniversalSort;

Function DetWithGauss: TOE; Virtual; {®Ўа й Ґв бҐЎп ў®а®зҐл¬ (Ўлбвал¬) бЇ®б®Ў®¬}