Высшая математика (стр. 1 из 3)

Задача 1

Провести полное исследование функций и построить их графики

Решение:

1) Область определения

,функция общего вида, т.к.

y(-x)≠-y(x), y(-x)≠y(x);

2)

=>x=-4

точка разрыва 2-го рода

3) Нули функции

4) Интервалы монотонности

возможные точки экстремума

не существует при

		-12		4		0
		0		-		0
		-27		-		0

Функция возрастает при

.

Функция убывает при

.

– точка максимума.

5. Выпуклость и вогнутость кривой.

при

не существует при

при

кривая выпукла

при

кривая вогнута

тч. перегиба

6) Асимптоты.

а) вертикальные: х=-4.

б) наклонные:

, =>

– наклонная асимптота

7) График функции

Задача 2

Фирма планирует собирать S шт./год телевизоров. Она периодически закупает кинескопы одинаковыми партиями размером q , шт./партию. Издержки по поставке не зависят от размера партии и равны С_П, руб./поставку. Хранение одного кинескопа на складе в течение года обходится в С_Х. руб./шт. год. Сборка телевизоров производится равномерно, с постоянной интенсивностью. Требуется определить оптимальные параметры системы снабжения кинескопами, при которых суммарные годовые издержки пополнения и хранения запаса кинескопов минимальны.

Таблица 1 - Параметры системы снабжения фирмы кинескопами

№	S	СП	СХ
12	62000	1650	68

Указания к задаче 2:

1) Запишите формулы для годовых издержек пополнения запасов И_П(q), издержек хранения И_Х(q) и суммарных издержек И(q) → min;

2) Сформулируйте критерий нахождения экстремума суммарных издержек;

3) Рассчитайте оптимальные значения параметров системы (партия поставок q, число поставок в год N^о, период между поставками Т^о, издержки пополнения И_П^о, издержки хранения И_Х^о , суммарные издержки И^о);

4) Постройте график изменения текущего запаса кинескопов в течение года;

5) Исследуйте характер изменения трех видов издержек как функций размера партииq и постройте графики этих функций на новом рисунке.

Решение:

Годовые издержки пополнения запасов И_П можно определить как произведение числа поставок N на стоимость одной поставки С_П.

И_П = N * С_П

Число поставок можно выразить через общий объем поставок S и размер партии q:

N =

Тогда можно записать функцию годовых издержек пополнения запасов в зависимости от размера партии:

И_П(q) = С_П *

Функцию годовых издержек хранения И_Х можно определить как произведение стоимости хранения единицы С_Х на среднее число кинескопов на складе.

Среднее число единиц хранения при равномерном расходе определяется как полусумма максимального и минимального числа кинескопов. Примем за минимальный уровень нулевое значение (без страхового запаса). Тогда максимальный уровень будет равен размеру партии, т.к. сразу после поставки на складе будет лежать q кинескопов.

Исходя из вышесказанного, можно записать функцию годовых издержек хранения:

И_Х(q) = C_X *

= C_X *

Запишем функцию суммарных издержек:

И(q) = И_П(q) + И_Х(q) = С_П *

+ C_X *

Экстремум функции суммарных издержек от размера партии определим из условия равенства нулю первой производной. Это экстремум соответствует минимуму суммарных издержек и определяет оптимальный размер партии.

И’(q) = (С_П *

+ C_X * )’= – +

Составим и решим уравнение:

–

+ = 0 ; = ; q² = ; q = .

Отрицательное значение корня не имеет физического смысла.

В результате получили формулу для определения оптимального размера партии.

Рассчитаем оптимальные значения параметров системы.

Найдем оптимальный размер партии:

q =

= » 1735 шт.

Найдем число поставок в год:

N^о = S / q = 62000 / 1735 = 35,7 » 36 раз

Найдем период между поставками:

Т^о = 360 / 36 = 10 дней

Найдем издержки пополнения:

И_П^о = С_П * N = 1650 * 36 = 59400 руб.

Найдем издержки хранения:

И_Х^о = C_X *

= 68 * 1735 / 2 = 58990 руб.

Найдем суммарные издержки

И^о = И_П^о + И_Х^о = 59400 + 58990 = 118390 руб.

Построим график запасов:

Рис. 1

Рассмотрим функции издержек.

Годовые издержки пополнения запасов И_П(q) = С_П *

являются обратной гиперболической функцией, которая монотонно убывает с увеличением размера партии q. С возрастанием q скорость убывания падает.

Годовые издержки хранения И_Х(q) = C_X *

являются линейной функцией, которая монотонно возрастает с увеличением размера партии q. Минимальное значение функции нулевое. С возрастанием q скорость увеличения издержек хранения не изменяется.