К решению теоремы Ферма (стр. 1 из 2)

Более 350 лет профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени нет общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не угасает и до настоящего времени остается высоким.

В настоящей статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на разделении числового множества yⁿ+ xⁿ=zⁿ(1)

на два подмножества, из которых первое содержит только те x и yдля всех показателей степени n, которые могут содержатьрешения уравнения (1) в целых числах x,y,z, а второе подмножество содержит только нецелые решения.

Отделить друг от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :

(x - a)ⁿ+ xⁿ–(x+b)ⁿ= 0 (2)

Здесь: x – переменное число, а < x – целое число; n – целое число, показатель степени; b – целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x,a, и n.

Сущность доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,zдля удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом последовательных приближений. Задача решается применительно к 45⁰ сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7 секторов плоскости(x,y), определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.

Итак, применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:

(x–a)ⁿ+ xⁿ= 2xⁿ- nx^n-1a + c_n²x^n-2a²- c_n³x^n-3a³...... +aⁿ

(x+b)ⁿ = xⁿ+nx^n-1b + c_n²x^n-2b²+ c_n³x^n-3b³.......+bⁿ

D = xⁿ- nx^n-1(a+b) + c_n²x^n-2(a²-b²) - c_n³x^n-3(a³+b³)..+(aⁿ+bⁿ) =0

(3)

Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2). Подходящие значения x, y=(x–a), z=(x+b), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a=b=1. Обоснование принятых допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая a = b , уравнение (3) преобразуем к виду:

xⁿ- 2nx^n-1a - 2c_n³x^n-3a³- 2c_n⁵x^n-5a⁵- ... (aⁿ+ aⁿ)=0(4)

ОбозначимчерезP(a,n) = 2c_n³x^n-3a³+ 2c_n⁵x^n-5a⁵ +... ( aⁿ+aⁿ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:

xⁿ- 2nx^n-1a - P(a,n) = 0

Разделив все члены уравнения на xⁿ^-1, получим выражение для искомого x

x=2na+P(a,n)/xⁿ^-1,гдеP(a,n)/x^n-1³0 (5)

При a = b = 1 выражение (5) примет вид:

x=2n+P(1,n)/x^n-1 (6)

Подходящие значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6) становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P(1,n)/xⁿ^-1 .

Исходя из изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко второму подмножествуyⁿ+ xⁿ=zⁿ

Ниже, в таблице приведены результаты расчетов согласования для n=2,3,4 и 5.

n	x	y=x-1	z=x+1	xⁿ	yⁿ	xⁿ+ yⁿ	zⁿ	D%
2	4	3	5	16	9	25	25	-
3	6,055	5,055	7,055	221	129	350	350	-
4	8,125	7,125	9,125	4350	2540	6890	6890	-
5	10,200	9,200	11,200	107000	66000	173000	175000	1,25

На основании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:

1. Согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) невозможно без учета добавки P(a,n)/xⁿ^-1.

2. Если уравнение yⁿ+ xⁿ=zⁿс учетом добавки P(a,n) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х,у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1,n)/хⁿ^-1; у=2n-1+ P(1,n)/хⁿ^-1; z=2n+1+ P(1,n)/хⁿ^-1, что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1,n)/хⁿ^-1 .

Для выяснения этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде

P(1,n)/х^n-1=2c_n³/x²+ 2c_n⁵/x⁴+2c_n⁷/x⁶... ( 1+1)/xⁿ^-1

В числителе каждого члена разложения представлены сочетанияc_n^k, распределение которых симметрично, наподобие гаусовскому, относительно центра (n+1)/2. В знаменателе функция x², возрастающая с каждым членом по квадратичному закону.

Первый член разложения, из-за малости x²имеет наибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами после запятой (для n=15 – 1,1…; для n=25 – 1,8…; и т.п.). Последний член имеет наименьшую величину из-за большого знаменателяxⁿ^-1(для n=3 – 2/6² ; для n=15– порядка 2/30¹⁴ ; для n=25– 2/50²⁴ и т.п.)

Первая половина разложения по сумме значительно превышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшего возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра. В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целыми числами со значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми, что свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.

3. Известно, что уравнение второй степениy²+ x²=z²решается в целых числах, а её проекцией на плоскость (х,у) является прямоугольный треугольник. Можно предположить, что для более высоких степеней n найдется прямоугольная проекция, при которой решение уравнения Ферма будет происходить при целых x,y,z. Такое предположение оправдано для степени n=3 в объемных прямоугольных координатах x,y,z, в которых для уравнения (x-2a)³+(x-a)³ +x³=(x+b)³ , существуют целые числа 3,4,5,6 и им кратные, которые удовлетворяют условию 3³+4³ +5³=6³.

Физически эти числа выражают сумму кубов в целых числах, по аналогии с n=2, где сумма квадратов означает сумму площадей. По сути мы получили новый вариант теоремы Ферма.

4. Искажения проекций (треугольников) по мере возрастания n обусловлены отражением на плоскости (х,у) несвойственных ей структур более высокого порядка. Отсюда можно заключить, что решения теоремы Ферма в целых числах связаны с наличием прямоугольных проекций, а при нецелых решениях- с искаженными проекциями в виде остроугольных треугольников.

Это подтверждается следующими математическими выкладками. Предварительно решим треугольник АВС из теоремы косинусов относительно cosC, где C –угол между сторонами а и b

сosC= (a²+ b² -c²)/2ab. Подставим вместо сторон а, bи с их аналоги из треугольных проекций при а = b =1:

а → x; b → y=x-1; c → z=x+1, гдеx=2n+P(1,n)/x^n-1

После выполнения операций преобразования получим:

cosC_n= 0,5-1,5/ x_n-1 (7)

По полученной формуле проведены расчеты

n	2	3	4	5	10	∞
x-1	3	5.054	7.125	9.200	19.0..	∞
cosC	0	0.202	0.289	0.337	0.421	0.5
C^o	90	78	73	70	65	60

Из которых следует :

- искажение треугольников при n>2 обусловлено изменением угла С от 90^о при n=2 до 60^о при n→∞ при этом треугольники превращаются из прямоугольных в остроугольные и в пределе – в равносторонние.

- В остроугольных треугольниках нет целых решений уравнений Ферма т.к. их стороны сформированы нецелыми числами.

- Решение теоремы Ферма в целых числах присуще только прямоугольным проекциям на плоскость (х,у) числовых отрезков уравнений y²+ x²=z²

5. Второй сектор квадранта является аналогом первого- зеркальным отражением первого при y>x со всеми вытекающими из этого результатами.

6. В процессе проведения анализа по доказательству теоремы Ферма в общем виде получены 4 компактных метода доказательства теоремы при целых x, y, когда требуется показать , что при n>2 число z является нецелым.

Первый метод доказательства следует из рассмотрения остроугольного треугольника, для которого Z₀²= x² +y²–2xycosc. Требуется доказать, что Z₀является нецелым числом. В нем известны x и y – целые числа, а coscопределен с учетом ограничений a=b=1. Он изменяется в пределах 0< cosc < 0,5 (см. ф-лу (7) и табл. на стр.3) и является функцией нецелого, иррационального числа х. Значит и соsc является также нецелым числом со множеством значащих цифр после запятой. Благодаря этому нецелым становится выражение 2xycosc, что в свою очередь делает нецелым Z₀² и извлеченный из него квадратный корень Z_0.