Клеточные пространства (стр. 1 из 8)
Содержание
Введение
1. Основные определения
1.1Терминологические замечания
1.2 Комментарии к определению клеточного пространства
2. Клеточные разбиения классических пространств
2.1 Сферы и шары
2.2 Проективные пространства
2.3 Многообразия Грассмана
2.4 Многообразия флагов
2.5 Классические поверхности
3. Гомотопические свойства клеточных пространств
3.1 Теорема Борсука о продолжении гомотопий
3.2 Следствия из теоремы Борсука
3.3 Теорема о клеточной аппроксимации
3.4 Доказательство леммы о свободной точке
3.5 Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации
Заключение
Список использованных источников
Введение
В системе высшего образования весьма значительную роль играет гомотопическая топология, которая почти никогда не рассматривает совершенно произвольных топологических пространств. Обычно она изучает пространства с той или иной дополнительной структурой, причем со времен основоположника топологии Анри Пуанкаре рассматривают структуры двух типов. Первый тип - структуры аналитического происхождения: дифференциальная, риманова, симплектическая и т.д. Структуры второго, более важного для нас типа - комбинаторные структуры. Они заключаются в том, что пространство расчленено на более или менее стандартные, и изучение пространства сводится к изучению взаимного расположения этих частей.
Одна из важнейших из комбинаторных структур - клеточная структура. В гомологии она является эффективным вычислительным средством.
Данная работа посвящена изучению клеточной структуры, приведению некоторых теорем, свидетельствующие о полезности понятия клеточного пространства для гомотопической топологии., а так же подтверждающие необходимость изучения рассмотренной темы и всей топологии в целом, как основы для систематизации знаний по многим разделам высшей математики.
1. Основные определения
Клеточное пространство - это хаусдорфово топологическое пространство К, представленное в виде объединения
попарно непересекающихся множеств 
("клеток") таким образом, что для каждой клетки 
существует отображение q-мерного шара 
в К (характеристическое отображение, отвечающее клетке 
), сужение которого на внутренность Int 
шара представляет собой гомеоморфизм Int 
≈ 
. При этом предполагаются выполненными следующие аксиомы.(С) Граница
= 
− 
клетки содержится в объединении конечного числа клеток 
с r < q.(W) Множество F
К замкнуто тогда и только тогда, когда для любой клетки замкнуто пересечение F 
.(Иногда характеристические отображения считаются фиксированными, т.е. рассматриваются как элемент структуры. Разумеется, такая модификация определения будет явно оговариваться)
1.1Терминологические замечания
1. Термин "клеточное пространство" не является абсолютно общепринятым: говорят также "клеточное разбиение" или "клеточный комплекс" или "CW-комплекс". Выражение "клеточное разбиение" мы будем употреблять как синоним выражения "разбиение пространства на клетки"; термин же "комплекс" будет у нас употребляться исключительно в алгебраическом значении.
2. Обозначения аксиом (С) и (W) являются стандартными; они происходят от английских слов "closurefinite" и "weaktopology".
Клеточное подпространство клеточного пространства K - это замкнутое его подмножество, составленное и целых клеток; клеточные подпространства являются самостоятельными клеточными пространствами. Важнейшие клеточные подпространства клеточного пространства - его остовы: n-й остов есть объединение всех клеток размерности
n (по определению, размерность клетки 
равна q). Стандартные обозначения для n-го остова пространства 
или 
X. Кстати, некоторые говорят "n-мерный остов", но это неправильно: размерность клеточного пространства определяется как верхняя грань размерностей его клеток, и, очевидно, размерность n-го остова меньше или равна n. Клеточное пространство называется конечным (счетным), если оно состоит из конечного (счетного) числа клеток.Заметим, что для конечных клеточных пространств аксиомы (С) и (W) проверять не нужно: они выполняются автоматически.
1.2 Комментарии к определению клеточного пространства
1. Замыкание клетки может не быть клеточным пространством. Пример: разбиение букета
на клетки 
, 
и ( 
) - 
делает его клеточным пространством, но если а не есть отмеченная точка окружности 
, то замыкание последней клетки не является подпространством (см. рис.1).Рис.1
2. Из (W) не следует (С). Разбиение диска D2 на внутренность IntD2 и отдельные точки граничной окружности
удовлетворяет аксиоме (W) (потому что всегда F IntD2 = F), но не удовлетворяет аксиоме (С).3. Из (С) не следует (W). Возьмем бесконечное семейство
│α=1,2,… 
копий отрезка I, отождествим нулевые концы и топологизируем получившееся множество при помощи метрики: расстояние между точками 
, 
равно 
, если 
, и равно 
, если 
. Разбиение построенного пространства на множества 
и оставшиеся точки не удовлетворяет, из условий, входящих в определение клеточного пространства, только аксиоме (W): точки 
составляют последовательность, сходящуюся к 0, и, значит, незамкнутое множество, но пересечение этой последовательности с замыканием любой клетки замкнуто.Кстати, если, как это только что было, разбиение пространства на клетки удовлетворяет всем условиям из определения клеточного пространства, кроме аксиомы (W), то можно ослабить в этом пространстве топологию, определив новую топологию при помощи аксиомы (W). Эта процедура называется "клеточным ослаблением топологии".
2. Клеточные разбиения классических пространств
2.1 Сферы и шары
При конечном n имеется два канонических клеточных разбиения сферы
. Первое состоит из двух клеток: точки 
(любой, скажем, (1,0,... ..., 0)) и множества 
(рис.2а). Характеристическое отображение 
, отвечающее второй клетке, - это обычное "сворачивание" сферы из шара; годится, например, отображение, действующее по формуле 
, где 
(рис.3).