Смекни!
smekni.com

Кривые и поверхности второго порядка (стр. 1 из 3)

Кафедра высшей математики

Курсовая работа

По линейной алгебре и аналитической геометрии

«Кривые и поверхности второго порядка»

Дубна 2002

Оглавление

Введение

Часть I. Исследование кривой второго порядка

1. Определение типа кривой с помощью инвариантов

2. Приведение к каноническому виду

3. Построение графиков

4. Вывод

Часть II. Исследование поверхности второго порядка

1. Определение типа поверхности.

2. Приведение к каноническому виду

3. Исследование формы поверхности методом сечений

4. Графики уравнения поверхности.

5. Вывод


Введение

Цель:

Целью данной курсовой работы является исследование кривой и поверхности второго порядка. Закрепление теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.

Постановка задачи:

I) Для данного уравнения кривой второго порядка:

1) Определить тип кривой с помощью инвариантов.

2) При a=0 записать каноническое уравнение прямой и определить расположение центра

3) Привести уравнение к каноническому виду, применяя параллельный перенос и поворот координатных осей.

II) Для данного уравнения плоскости второго порядка:

1) Исследовать форму поверхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные в сечениях.

2) Построить поверхность в канонической системе координат.

Часть I. Исследование кривой второго порядка

1. Определение типа кривой с помощью инвариантов

Для данного уравнения кривой второго порядка:

(5 - a)x2 + 4xy + 3y2 + 8x – 6y +5 = 0 (3.1)

определить зависимость типа кривой от параметра a с помощью инвариантов.

Для данного уравнения кривой второго порядка:

a11 = 5 - a, a12 = 2, a13 = 4, a22 = 2, a23 = -3, a33 = 5

Вычислиминварианты:

I1 = a11 + a22 = (5 - a) +2 = 7 - a

I2 =

=
= (5 - a)2 – 4 = 6 -2a

I2 =

=
= (5 - a)10-24-24-32-9(5 - a)-20 = -a-95

Согласно классификации кривых второго порядка:

I. Если I2 = 0, то данное уравнение (3.1) определяет кривую параболического типа:

I2 = 6 - 2a = 0, следовательно, при a = 3 уравнение определяет кривую параболического типа.

При a = 3 I3 = - a - 95 = -3 - 95 = 98 ¹ 0. Значит, при a = 3 уравнение (3.1) задаёт параболу.

II. Если I2 ¹ 0, то задаваемая кривая является центральной. Следовательно, при a¹ 3 данное уравнение задаёт центральную кривую.

1. Если I2 > 0, то уравнение задаёт кривую эллиптического типа:

Значит, при a < 3 уравнение (3.1) задаёт кривую эллиптического типа.

a. Если I1I3 < 0, то уравнение определяет эллипс:

I1I3 = - (7 - a)(a+95) = a2+88a-665 < 0, при решении получаем aÎ (-95 , 7). Следовательно, при aÎ (-95 , 3)уравнение (3.1) задаёт эллипс.

b. Если I1I3 > 0, то уравнение определяет эллипс:

I1I3 = a2+88a-665 > 0, при решении получаем aÎ (-¥, -95). Следовательно, при aÎ (-¥ , -95) уравнение (3.1) задаёт мнимый эллипс.

c. Если I3 = 0, то уравнение определяет две мнимые пересекающиеся прямые:

I3 = -a - 95 = 0, при решении получаем a - 95. Следовательно, при a = - 95 уравнение (3.1) задаёт две мнимые пересекающиеся прямые.

2. Если I2 < 0, то уравнение задаёт кривую гиперболического типа:

Значит, при a > 3 уравнение (3.1) задаёт кривую гиперболического типа.

a. Если I3 ¹ 0, то уравнение определяет гиперболу:

I3 = -a - 95 ¹ 0, получаем a¹ -95. Следовательно, при aÎ (3 , +¥) уравнение (3.1) задаёт гиперболу.

Согласно полученным данным, построим таблицу:

aÎ(-¥ , -95) a = -95 aÎ(-95 , 3) a = 3 aÎ(3 , +¥)
Мнимый эллипс Две мнимые пересекающиеся прямые Эллипс Парабола Гипербола

2. Приведение к каноническому виду

При a = 0 уравнение (3.1) принимает вид:

5x2 + 4xy + 2y2 + 8x - 6y + 5 = 0 (3.2)

Приведем уравнение кривой (3.2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой.

a) Характеристическое уравнения для данной кривой будет иметь вид:

A(x, y) = 5x2 + 4xy + 2y2

Откуда следует, корни характеристического уравнения есть: l1 = 1, l2 = 6.

Расположение эллипса относительно начальной системы координат будет известно, если мы будем знать координаты центра и угловой коэффициент вещественной оси эллипса.

Уравнения для определения координат центра имеют вид:

Откуда мы находим x0 = -

и y0 =
. Следовательно, точка O¢(-
,
) есть центр данной кривой.

Угловой коэффициент оси O¢Xможем определить по формуле:

б) Совершим параллельный перенос начала координат в точкуO¢(x0, y0). При этом координаты x, yпроизвольной точки плоскости в системе координат xOy и координаты x', y' в новой системе координат x'O'y' связаны соотношениями:

Подставив данные выражения в уравнение (3.1), получим:

5(x0 + x¢)2 + 4(x0 + x¢)(y0 + y¢) + 2(y0 + y¢)2 + 8(x0 + x¢) - 6(y0 + y¢) + 5=0

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

5x¢2+4x¢y¢+2y¢2+(10x0+4x0 + 8)x¢ + (4x0 + 4y0 - 6)y¢ + (5x02 + 4x0y0 + 2y02 + 8x0 - 6y0 + 5) = 0 (3.3)

В данном уравнении коэффициенты при x¢ и y¢ приравняем к нулю и получим систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, мы получим, найденные уже раннее, координаты центра O¢, x0 = -

и y0 =
. Подставив данные значения в уравнение (3.3), коэффициенты при x¢ и y¢ станут равными нулю, мы получим уравнение в системе координат x'O'y' :

5x¢2 + 4x¢y¢ + 2y¢2 + (

) = 0

5x¢2 + 4x¢y¢ + 2y¢2 -

= 0 (3.4)

в) Так как a12 = 2 ¹ 0, то для дальнейшего упрощения необходимо произвести поворота осей координат на угол a. При повороте осей координат на уголa координаты x', y' произвольной точки М плоскости в системе координат x'O'y' и координаты X, Y в новой системе координат XO'Y связаны соотношениями:

Подставим данные выражения в уравнение (3.4), получим:

5(Xcosa - Ysina)2 + 4(Xcosa - Ysina)(Xsina + Ycosa) + 2(Xsina + Ycosa)2 -

= 0

(5cos2a + 4sinacosa + 2sin2a)X2 + (-6sinacosa + 4cos2a - 4sin2a)XY +

(5sin2a - 4sinacosa + 2cos2a)Y2 -

= 0 (3.5)

В полученном выражении найдём такой угол a, чтобы коэффициент при XY стал равен нулю, для этого необходимо:

-6sinacosa + 4cos2a - 4sin2a = 0

2tg2a + 3tga - 2=0

Откуда, при решении, находим два значения tga = -2 и tga =

.

В первом задании мы нашли, что угловой коэффициент вещественной оси O'X эллипса равен k = -2. Так как угловой коэффициент равен тангенсу, то из двух найдённых значений выберем tga = -2. Следовательно:

cosa =

, sina =

Подставив данные значения для sina и cosa в уравнение (3.5), коэффициент при XY станет равным нулю, получим:

(

)X2 + (
)Y2 -
= 0

X2 + 6Y2 -

= 0

(3.6)

- это каноническое уравнение данной кривой (3.1) при a = 0.