Математический анализ (стр. 1 из 4)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХПИ»
Кафедра «Вычислительной техники и програмирования»
Расчётно–графическое задание
по курсу «Теория алгоритмов и вычислительные методы»
Харьков – 2005
Исходные данные:
| Вариант № | y0 | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | h | x0 |
| 64 | -0.02 | 0.604 | 0.292 | -0.512 | -1.284 | -2.04 | 0.5 | 0.3 |
Задача 1
Исходные данные вводятся в ЭВМ как абсолютно точные числа и представляются в ней в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью в одну миллионную. Введенные данные x0 и y0 служат основой формирования двух векторов x=(x0, x1, …, xn) и y=(y0, y1, …, yn) по рекуррентным формулам:
 |
Вычислить скалярное произведение с := (x, y) по алгоритму:
с := 0; i := 0;
while i < n + 1 do c := c + xi · yi;
и оценить аналитически и численно инструментальную абсолютную и относительную погрешности.
Решение
Поскольку данные представляются в ЭВМ в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью, то
x0 = x0(1+δ)
y0 = y0(1+δ)
C0 = x0y0(1+δ)
 |
 |
Приi = 1
Приi = 2
x2 = x03(1+δ)5
y2 = y0(1+δ)3
C2 = x0y0(1+δ)5 + x02(1+δ)7 + x03y0(1+δ)10
Приi = 3
x3 = x04(1+δ)7
y3 = (1+δ)5
C3 = x0y0(1+δ)6 + x02(1+δ)8 + x03y0(1+δ)11 + x04(1+δ)14
При i = 4
x4 = x05(1+δ)9
y4 = y0(1+δ)7
C4 = x0y0(1+δ)7 + x02(1+δ)9 + x03y0(1+δ)12 + x04(1+δ)15 + x05y0(1+δ)18
 |
Выявим закономерность изменения Ci:
При расчете Cn без учета погрешности исходных данных и погрешности вычисления, получим
Обозначим эту сумму как S1.
Тогда абсолютная погрешность S2
 |
а относительная погрешность
 |
Оценим инструментально относительную и абсолютные погрешности при n = 10
S1 = 0.0923071
S2 = 1.45914·10-6
S3 = 1.58075·10-5
Задача 2
Для функции g(x), заданной своими значениями в шести точках, составить таблицу всех повторных разностей. Преобразовать функцию g(x) с помощью линейного преобразования x = a + b * k в функцию G(k) с целочисленным аргументом k. В качестве проверки правильности заполнения таблицы вычислить аналитически конечную разность Δng(x) = ΔnG(k) для n = 5.
Решение
Составим таблицу всех повторных разностей:
| k | x | y | Δy | Δ2y | Δ3y | Δ4y | Δ5y |
| 0 | 0.3 | 0.02 | -1.576 | 0.044 | -0.136 | 0.66 | -0.54 |
| 1 | 1.1 | -1.556 | -1.532 | -0.092 | 0.524 | 0.12 | — |
| 2 | 1.9 | -3.088 | -1.624 | 0.432 | 0.644 | — | — |
| 3 | 2.7 | -4.712 | -1.192 | 1.076 | — | — | — |
| 4 | 3.5 | -5.904 | -0.116 | — | — | — | — |
| 5 | 4.3 | -6.02 | — | — | — | — | — |
 |
Найдем формулу перехода от x к k:
 |
Выполним проверку, вычислив аналитически конечную разность
Δng(x)= ΔnG(k)дляn = 5:
Конечные разности, вычисленные аналитически и таблично Δng(x) = ΔnG(k) для n = 5 совпали, следовательно, таблица повторных разностей составлена верно.
Задача 3
Таблично заданную функцию G(k) с целочисленным аргументом представить в виде разложения по факториальным многочленам (z(n) = z · (z-1) · (z-2) · … · (z - n + 1)) и преобразовать его в степенные многочлены G(z) и G(x).
Решение
Представим функцию G(k)в виде разложения по факториальным многочленам:
 |
Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(z):
Выполним проверку при k = 1:
 |
0.604=0.604
Так как результаты совпали, значит степенной многочлен G(z) представлен правильно.
Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(x). Зная, что получим:
 |
 |
Проверим вычисления при x = 0.8:
 |
0.6045128 ≈ 0.604
Так как результаты совпали, то вычисления сделаны верно.
Задача 4
Вывести аналитическое выражение суммы для функции целочисленного аргумента G(z). Проверить правильность вычисления полученного выражения прямым суммированием табличных значений G(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (m = 5).
Решение.
Для вычисления значения суммы используем функцию G(z) в виде разложения по факториальным многочленам, полученным в задаче 3:
 |
 |
где
Для проверки, просуммируем значения G(k) из таблицы:
-0.02 + 0.604 + 0.292 - 0.512 - 1.284 - 2.04 = - 2.96
- 2.96 = - 2.96
Так как результаты вычисления аналитического выражения и суммы табличных значений G(k) совпали, значит аналитическое выражение для суммы выведено правильно.
Задача 5
Составить таблицу упорядоченных разделенных разностей для g(x). Проверить правильность таблицы для разделенной разности [x0; x1; x2; x3] по формуле ее аналитического представления.
Составим таблицу упорядоченных разделенных разностей для g(x):
| xi | g(xi) | [xi; xi+1] | [xi; xi+1; xi+2] | [xi; xi+1; xi+2; xi+3] | [xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4] | [xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4;xi+5] |
| 0.3 | -0.02 | 1.248 | -1.872 | 0.592 | 0.0533333 | -0.1567999 |
| 0.8 | 0.604 | -0.624 | -0.984 | 0.6986666 | -0.3386666 | — |
| 1.3 | 0.292 | -1.608 | 0.064 | -0.0213333 | — | — |
| 1.8 | -0.512 | -1.544 | 0.032 | — | — | — |
| 2.3 | -1.284 | -1.512 | — | — | — | — |
| 2.8 | -2.04 | — | — | — | — | — |
Для проверки правильности заполнения таблицы разделенных разностей, вычислим разделенную разность пятого порядка по формуле ее аналитического представления:
Так как результаты вычислений совпали, значит, таблица разделенных разностей составлена правильно.
Задача 6
Получить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, проходящие через первые четыре точки таблично заданной функции G(x), и сравнить их степенные представления.
Решение
Для нахождения интерполяционного многочлена Лагранжа используем формулу
где n = 3. 
Проведем проверку вычислений, подставив x=0.8 в интерполяционный многочлен Лагранжа, получим y1=0.604
Интерполяционный многочлен Ньютона находится по формуле: