Расширение кольца с помощью полутела (стр. 1 из 3)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Расширение кольца с помощью полутела

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Лукин Михаил Александрович

_____________________

Научный руководитель:

д. ф.-м. н.,профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии

Вечтомов Евгений Михайлович

_____________________

Рецензент:

к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии

Чермных Василий Владимирович

_____________________

Допущен к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина

Киров – 2005

Введение........................................................................................ 3

§1. Допустимые кольца и решетки.............................................. 6

§2. Допустимые полутела.......................................................... 10

§3. О единственности расширения............................................ 12

Заключение................................................................................. 14

Библиографический список........................................................ 15

Введение

Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления.

Для получения новых конструкций полуколец может оказаться полезным понятие двойного расширения полуколец (или 0-1 расширения).

В работе исследуется следующий вопрос.Для каких кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела Uс помощью решетки L?

Полукольцом называется такая алгебраическая структура áS; +, ×, 0ñ, что áS; +, 0ñ - коммутативный моноид с нулем 0, áS, ñ - полугруппа и в S выполняются тождества a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc и a0=0a=0. Неодноэлементное полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом (с нулем). Если из полутела S исключить 0, то получим структуру áS; +, ñ, которую будем называть полутелом без нуля, или просто полутелом. Полукольцо с квазитождеством a+b=0 Þa=0 назовем антикольцом. Полукольцо с тождеством a+a=a называется идемпотентным. А полукольцо с квазитождеством a+b=a+cÞb=c называется сократимым.

Полукольцо S назовем 0-расширением полукольца K с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция s, что K@[0]_s - изоморфно нулевому ядру - и S/s@T. Аналогично, полукольцо S с единицей 1 называется 1-расширением полукольца K, возможно без нуля, с помощью полукольца T, если на S существует конгруэнция r, для которой K@[1]_r- изоморфно единичному ядру - и S/r@T. В отличие от колец данные расширения позволяют шире представлять сами полукольца, скажем, изучить симбиоз колец и полутел, или колец и антиколец (см. [1]).

Для произвольного полукольца S обозначим через R(S)множество всех аддитивно обратимых элементов в S, а через U(S) – множество всех обратимых элементов в S в случае, когда Sобладает 1. Очевидно, что R(S) является кольцом и строгим идеалом полукольца S (т.е. a+bÎR(S) Þa, bÎR(S)).

Пусть S/R(S)– фактор-полукольцо полукольца Sпо конгруэнции Берна, соответствующей идеалу R(S): sконгруэнтно tÛs+a=t+bдля некоторых a, bÎR(S). Положительное регулярное полукольцо, все идемпотенты которого центральны, называются arp-полукольцом [2]. При этом положительность полукольца S с 1 означает, что все элементы вида a+1, aÎS, обратимы, а его регулярность означает разрешимость в Sкаждого уравнения axa=a.

Справедливы следующие утверждения.

1.Любое полукольцо S является 0-расширением кольца, изоморфного R(S), с помощью положительно упорядоченного полукольца [1]

2. Полукольцо Sс 1 изоморфно прямому произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда его идеал R(S) имеет единичный элемент, коммутирующий с каждым элементом из S[1].

3.Полукольцо Sслужит 0-расширением кольца с помощью полутела тогда и только тогда, когда идеал R(S) полульца S простой (т.е. abÎR(S) влечет aÎR(S) или bÎR(S)).

4.Для полукольца Sс 1 фактор-полукольцо S/R(S) является полутелом с нулем тогда и только, когда R(S) есть максимальный односторонний идеал в S.

В качестве следствия утверждений 2 и 4 очевидным образом формулируется критерий разложимости полукольца с 1 в прямое произведение кольца и полутела с нулем. Отметим также, что подпрямые произведения кольца и ограниченной дистрибутивной решетки абстрактно охарактеризованы в [3].

5. Для существования 1-расширения полукольца K, возможно не имеющего нуля, с помощью полукольца Tнеобходимо и достаточно, чтобы K имело 1, а T было идемпотентным полукольцом с 1.

6. Любое arp-полукольцо Sявляется 1-расширением полутела U(S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки S/r, где r - конгруэнция наS, такая, что arbозначает aU(S)=bU(S). Для коммутативных полуколец верно и обратное утверждение. См. [2].

7. Всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела [4].

Полукольцо S с 1 назовем 0-1-расширением полукольца Kи полукольца без нуля L с помощью полукольца T, если на Sсуществует такая конгруэнция r, что [0]_ρ@K, [1]_r@Lи S/r@T.

Пусть для кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела Uс помощью решетки L. Соответствующую тройку <R ,P ,L> будем называть допустимой.

§1.Допустимые кольца и решётки

Речь в главе пойдёт о решётке и кольце, состоящих в допустимой тройке.

Обозначим через D двухэлементную цепь.

Пусть имеется полукольцо S с конгруэнцией r, для которой [0]_r@R, [1]_r@P, F/r@D. Такое полукольцо S назовем дизъюнктным объединением кольца R и полутела P, и обозначим P

R. Ясно, что "pÎP,"rÎR,p×rÎR,p+rÎP.

С другой стороны, если любой элемент полукольца Sс 1 либо обратим, либо имеет противоположный элемент, то Sбудет дизъюнктным объединением кольца R(S) и полутела U(S). При этом разбиение {R(S), U(S)} индуцирует искомую конгруэнцию r на S.

Предложение.В U

Rсправедливы следующие утвержденияа) аддитивная группа R делимая абелева группа. б) результат умножения

определён единственным образом.

Доказательство. а) Пусть

, тогда , ч.т.д.

б) Пусть мультипликативная операция задана. Если

, то . Умножив равенство на справа, получим , значит . Рассмотрим результат умножения , пусть . Тогда , поэтому есть элемент, складывая который раз получим . Из ранее доказанного следует, что такой элемент единственен, что завершает доказательство. есть решение уравнения в кольце .

Теорема 1. Для произвольного кольца R эквивалентны следующие условия:

1) существует допустимая тройка áR, U, Lñ, гдеL – любая дистрибутивная решетка с 1¹0;

2) существует полукольцо, являющееся дизъюнктным объединением кольца R и полутела U;