Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (стр. 1 из 3)

Контрольна робота

З дисциплiни: Вища математика

За темою (роздiлом навчального плану)

Прізвище,ім’я, по батькові студента

Данiщук Мирослава Евгенiївна

Прiзвище та інiцiали викладача

Дюженкова Ольга Юріївна

Київ 2008 рiк.

Завдання 1

Систему рівнянь записати в матричній формі та розв’язати методом оберненої матриці та методом Гауса.

(*)

Розв’язання.

Запишемо дану систему рівнянь (*) в матричній формі:

=

. (1)

Введемо позначення:

А≡

- матриця системи,

Х ≡

- вектор-стовпець з невідомих членів,

В ≡

- вектор-стовпець з вільних членів.

1) Розв’яжемо систему рівнянь (*) методом оберненої матриці.

Домноживши рівність (1) зліва на обернену матрицю A^-1 одержимо:

Знайдемо обернену матрицю до даної:

A^-1 =

,

де А₁₁= (-1) ²·

=10-24=-14,А₁₂= (-1) ³·

=- (-6+6) =0,А₁₃= (-

1) ⁴·

=-12+5=-7,А₂₁= (-1) ³·

=- (-2+4) =-2,А₂₂= (-1) ⁴

·

=-6-1=-7,А₂₃= (-1) ⁵·

=- (-12-1) =13,А₃₁= (-1) ⁴·

=-

6+5=-1,А₃₂= (-1) ⁵·

=- (-18-3) =21,А₃₃= (-1) ⁶·

=-15-3=-18.

det A =

= 30-6-12+5+6-72=-49.

Тому

A^-1 =

= -

.

Отже, розв’язок даної системи в матричній формі запишеться так:

X = -

·

=-

=

=-

=

.

Тобто х₁=1,х₂=1,х₃=1.

2) Розв’яжемо систему рівнянь методом Гауса.

Метод Гауса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень.

Спочатку виключимо х₁ з другого та третього рівнянь системи (*).

Помножимо друге рівняння системи (*) на - 1 і додамо його до першого - запишемо замість другого рівняння,

Помножимо третє рівняння на - 3 і додамо його до першого - запишемо замість третього рівняння:

(2)

Тепер виключимо х₃ з третього рівняння отриманої системи (2). Для цього помножимо третє рівняння системи (2) на - 1 і додамо до другого - запишемо замість третього рівняння системи:

(3)

З рівняння (3) маємо:

х₂= 1,х₂ =

= 1,х₃ = 5-3·1-1=1.

Відповідь. дана система в матричній формі:

=

,

її розв’язок (1; 1;1).

Завдання 2

Показати, що перші три вектори

, , утворюють базис тривимірного векторного простору, і розкласти вектор за цим базисом (при розв’язанні системи лінійних рівнянь використати формули Крамера):

= (1,2,3), = (2,2,3), = (1,1,1), = (5,7,10)

Розв’язання.

Для того, щоб вектори

, , утворювали базис, необхідно щоб вони були лінійно незалежними. Тобто має виконуватись рівність:

α

+β +γ = 0,за умови, що α = β = γ = 0.

Тобто

α

+β +γ = 0,

або

= .

Тоді, система:

повинна мати тільки нульове рішення. Це можливо тільки, якщо її визначник не дорівнює нулю.

Визначник системи:

А =

, det A = 1*2*1+2*1*3+2*3*1-3*2*1-2*2*1-3*1*1=1

0.

Отже, вектори

, , утворюють базис тривимірного векторного простору.

Тоді вектор

є їх лінійною комбінацією:

= b₁ + b₂ + b₃ .

Числа b₁, b₂, b₃ будуть координатами вектора у базисі

, , . Знайдемо їх, розв’язавши відповідну систему:

Систему лінійних рівнянь розв’яжемо, використовуючи формули Крамера:

b1 =

,

b2 =

b3 =

.

= det = 5*2*1+2*1*10+7*3*1-10*2*1-7*2*1-3*1*5 = 2, = det = 1*7*1+5*1*3+2*10*1-3*7*1-5*2*1-10*1*1 = 1, = det =1*2*10+2*7*3+2*3*5-3*2*5-2*2*10-3*7*1 = 1.