Смекни!
smekni.com

Системи випадкових величин (стр. 1 из 5)

СИСТЕМИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

(реферат)

Вступ

N-вимірний вектор

(t-індекс транспонування) називається випадковим, якщо його координати є випадковими величинами. Вектор
називають дискретним, якщо його координати - дискретні випадкові величини, неперервним,якщо його компоненти - неперервні випадкові величини і змішаним, якщо частина його компонент – дискретні випадкові величини, а інша частина – неперервні випадкові величини. Випадкові N-вимірні вектори називають ще системою N випадкових величин або багатовимірними випадковими величинами. В подальшому розглядаються двовимірні випадкові вектори (системи двох випадкових величин), які позначаються
.

1. Розподіли системи двох випадкових величин

Система двох дискретних випадкових величин однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею

y1y2… ym

, (1.1)

(

).

Стовпчики матриці відповідають значенням

випадкової величини Y , а рядки – значенням
випадкової величини X. Події
утворюють повну групу подій, тому сума елементів матриці
дорівнює 1:

.

Розподіли

,

називають розподілами компонент системи двох випадкових величин

. Події
,
,...,
є несумісними, тому за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій сума елементів і-рядка матриці
дорівнює ймовірності значення
:

.(1.1а)

Аналогічно, сума елементів j-стовпчика дорівнює ймовірності значення

:

.(1.1b)

Приклад 1.1. Система двох випадкових величин

задана сумісним розподілом

y1y2

Знайти розподіли компонент системи випадкових величин.

Розв’язування. За формулами (1.1а) та (1.1b)

;

;

;

;
.

Отже, розподіли компонент

.

Будь-який двовимірний випадковий вектор (неперервний чи дискретний) однозначно визначається інтегральною функцією сумісного розподілу

, (1.2)

яка визначає ймовірність того, що випадкова величина X приймає значення менше ніж x, а

- менше ніж y. Геометрична інтерпретація інтегральної функції сумісного розподілу полягає в тому, що вона визначає ймовірність попадання випадкової точки
у нескінченний заштрихований квадрат із вершиною в точці
(рис 1.1).

Інтегральна функція розподілу випадкового вектора

має такі очевидні властивості.

Властивість 1.

.

Властивість 2.Функція

неспадна по кожному аргументу

, якщо
;

, якщо
.

Властивість 3.Мають місце граничні співвідношення

,
,
,
.

Властивість Для функція

мають місце ще і такі граничні співвідношення

,

,

- інтегральна функція розподілу компоненти X випадкового вектора
.

- інтегральна функції розподілу компоненти Y випадкового вектора
.

З використанням функції розподілу (1.2) легко можна обчислити ймовірність попадання випадкової точки у напівсмугу

та
(рис 1.2)

, (1.3а)

.(1.3б)

Імовірність попадання випадкової точки у напівсмугу дорівнює приросту інтегральної функції сумісного розподілу по відповідному аргументу.

Доведення. Імовірність попадання у напівсмугу

дорівнює різниці ймовірності попадання точки у нескінченний квадрат з вершиною
(
)і ймовірності попадання точки у нескінченний квадрат з вершиною
(
. Звідси і слідує рівність (1.3а)

Імовірність попадання випадкової точки у прямокутник утворений прямими

(рис.1.3) обчислюється за формулою


(1.4)

Доведення. Імовірність попадання у прямокутник дорівнює різниці ймовірності попадання точки у напівсмугу

(
)і ймовірності попадання у напівсмугу
(
). Звідси і слідує рівність (1.3а)

Приклад 1.2. Знайти ймовірність пападання випадкової точки

у прямокутник обмеженний прямими
,
,
,
, якщо відома інтегральна функція сумісного розподілу