Функции и их производные (стр. 1 из 2)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
ВАРИАНТ 4.3
№ 1.
а) Найти производные от данных функций:
б)
Применяем правило нахождения производной произведения функций
в)
№ 2
Дана функция
Найти:
а) координаты вектора gradu в точке А (-1,3,2)
По определению:
б)
в точке А в направлении вектора а{2,-6,-3}По определению:
Величины
найдены в п.а)Найдем cosб, cosв, cosг.
По формуле получаем:
№ 3.
Дана функция
.Найти y”. Вычислить y”(-1).
№ 4.
Доказать, что функция
удовлетворяет уравнению
подставляем найденные выражения в уравнение, получаем:
, что и требовалось доказать.№5
Найти
если 
Вычислить
если 
.Воспользуемся формулами нахождения производных для функций, заданных параметрически
№ 6.
Функции задана неявно уравнением
Вычислить:
а)
Вычисления проводим по формуле
б)
№ 7.
На графике функции y=ln2x взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен ј. Найти абсциссу точки А.
Из геометрического смысла производной
имеем 
№ 8.
Найти dy, если у=х6. Вычислить значение dy, если
Для
имеем 
№ 9.
Дана функция
и точки 
и 
Вычислить Дz и dz при переходе из точки М0 в точку М1 . Приращение функции Дz равно
Дифференциал функции dz равен
№ 10.
Дана функция
. Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;6]. Найдем 
Приравниваем числитель к нулю при условии
Решение
отбрасываем. 
совпадает с граничным значением.Найдем значение функции в точках x=0 и x=6.
Наибольшее значение функции на отрезке [0;6] равно
, наименьшее равно 3. 
№ 11
Дана функция
.Найти ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном прямыми
.Найдем стационарные точки из системы уравнений
Решаем систему уравнений
Сделаем чертеж
На участке границы х=-1 функция z(х,у) превращается в функцию одной переменной
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на обрезке [-1;2]. Имеем
, отсюда 
. Это значение не принадлежит отрезку [-1;2]. Z(-1)=5. Z(2)=4+6+7=17.На участке у=-1 получаем
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-1;2]. Имеем
, отсюда 
.Находим
На участке границы у=1-х получаем функцию
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на участке [-1;2].
На границах отрезка
Сравниваем все найденные значения функции
видим, что наибольшее значение достигается в точке (2;-1) и равно 23, а наименьшее равно 4 и достигается в точке (0;0).
Ответ: 23;4.
№ 12.
Провести полное исследование функции
и начертить ее график.1. Найдем область определения функции
.Функция непериодична.
2. Установим наличие симметрии относительно оси OY или начала координат по четности или нечетности функции
, симметрии нет.3. Определим «поведение функции в бесконечности»
4. Точка разрыва х=-2
5. найдем пересечение кривой с осями координат
т.А (0;2) 
Корней нет, нет пересечения с осью OY.
6. Найдем точки максимума и минимума
в точке
производная меняет знак с <-> на <+>, следовательно имеем минимум, в точке 
производная меняет знак с <+> на <->, имеем максимум.При
первая производная отрицательна, следовательно, функция убывает, при 
производная положительна, функция в этих промежутках возрастает.7. Найдем точки перегиба
, точек перегиба нет. При 
вогнутость вверх, при 
, вогнутость вниз.8. Найдем горизонтальные и наклонные асимптоты в виде
, где