Использование обобщений при обучении математике в средней школе (стр. 3 из 7)
Это позволяет обобщить утверждение, высказав гипотезу, что
, а потом ее и доказать.4. Обобщение на основе метода доказательства. В ходе поиска решения задачи или доказательства теоремы мы нашли нужный метод. Анализируя метод, выясним, что он может быть использован в более общей ситуации. Это позволяет сформулировать и доказать обобщение утверждения.
Известна задача: Если в параллелограмме соединить середины смежных сторон, то полученный четырехугольник – параллелограмм.
Анализируя метод доказательства, можно получить известное обобщение.
5. Обобщение путем изменения. Анализируя объекты, которые входят в известное утверждение, заменяем их на другие и пытаемся сформулировать и доказать обобщения.
Обратимся к теореме Виета. В условии речь идет о трехчлене
. Что можно менять? Это зависит от человека, который пытается обобщать, а точнее, какие объекты он увидит. Дело это творческое, и не существует единого рецепта. Обратимся к записи, где выделена часть объектов, которые могут быть изменены: 
Без труда можно сформулировать возможные обобщения.
6. Обобщение как усиление. Этот метод поясняем на примере доказательства неравенства
.Введем функцию
. Легко убедиться, что при 
она возрастает и график является выпуклым вниз (рис. 1). 
рис. 1
Рассмотрим криволинейную трапецию
. Очевидно, что ее площадь 
может быть вычислена по формуле 
.Площадь криволинейного треугольника
находится по формуле 
, или 
.Отсюда ясно, что в условии предлагается доказать, что
.Так как площадь квадрата
равна 
, то достаточно убедиться, что площадь криволинейного треугольника 
меньше 
. Укажем координаты “нужных” точек: 
.Теперь рассмотрим точку
. Пользуясь выпуклостью вниз графика функции 
, легко убедиться, что площадь криволинейного треугольника меньше площади треугольника 
. Докажем неравенство 
(это больше, чем нам нужно): 
.Отсюда и получаем требуемое неравенство.
7. Обобщение на основе соединения. При данном способе обобщения новые утверждения получаются путем рассмотрения свойств объектов из разных тем (отметим, что этот метод отражен в названии наук – биофизика, биохимия, математическая биология и др.).
Известны следующие утверждения:
1. а) Если 
и 
- корни трехчлена
, то 
. б) Если и - любые числа, а 
, 
, то и - корни уравнения
.2. Пусть 
- точка касания вписанной в прямоугольный треугольник окружности с гипотенузой 
и 
, 
(рис. 2). Доказать, что площадь треугольника равна
. 
рис. 2
Соединяя эти утверждения, можем сформулировать следующие задания:
Если 
и 
- отрезки, на которые точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, разбивает гипотенузу, то:
а)
;б)
;в)
,где
- гипотенуза, а 
- площадь треугольника.ОБОБЩЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Обобщение в преподавании математики
При обобщении мысленно выявляют какое-нибудь свойство, принадлежащее множеству объектов и объединяющее эти объекты воедино.
Так, например, изучение формулы n-го члена арифметической прогрессии начинается с рассмотрения конкретных примеров на вычисление различных членов арифметической прогрессии по заданным первому ее члену и разности.
При проведении этих вычислений учащиеся используют равенства:
a2 = a1 + d,
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d,
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d ит. д.
Естественно, возникает полезное обобщение эти равенств в одной формуле an = a1 + d(n – 1), с помощью которой устанавливается более короткий способ для вычисления любого члена арифметической прогрессии.
В дальнейшем эта формула получает новое обобщение, когда устанавливается, что любая арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента:
y = kx + b, где x 
N.
Можно сказать, что обобщение выступает как переход от данного множества предметов к рассмотрению более «емкого» множества, содержащего данное.
Так, например, мы обобщаем, когда переходим от рассмотрения множества натуральных чисел к множеству дробных положительных чисел.
К обобщению могут привести: а) замена некоторой постоянной объекта переменной (треугольник
многоугольник); б) отказ от ограничения, наложенного на объект изучения 
D (D – множество действительных чисел).Обобщение есть переход от рассмотрения единственного объекта к рассмотрению некоторого множества, содержащего этот объект в качестве своего элемента, или переход от менее емкого множества к более емкому, содержащему первоначальное.
1. Если случайно мы встречаем сумму
,мы можем подметить, что ее можно записать в любопытной форме:
.Естественно возникает вопрос: часто ли сумма кубов последовательных чисел, т.е.
,оказывается полным квадратом? Задавая этот вопрос, мы обобщаем.
Наше обобщение очень удачно: оно приводит нас от одного наблюденного факта к замечательному общему закону. Многие результаты в математике, физике и других естественных науках были найдены в результате удачного обобщения.