Смекни!
smekni.com

Непрерывность функции на интервале и на отрезке (стр. 1 из 4)

Определение 3.3 Пусть

- некоторая функция,
- её область определения и
- некоторый (открытый) интервал (может быть, с
и/или
)7. Назовём функцию
непрерывной на интервале
если
непрерывна в любой точке
, то есть для любого
существует
(в сокращённой записи:

Пусть теперь

- (замкнутый) отрезок в
. Назовём функцию
непрерывной на отрезке
, если
непрерывна на интервале
, непрерывна справа в точке
и непрерывна слева в точке
, то есть

Теорема 3.5 Пусть

и
- функции и
- интервал или отрезок, лежащий в
. Пусть
и
непрерывны на
. Тогда функции
,
,
непpеpывны на
. Если вдобавок
пpи всех
, то функция
также непpеpывна на
.

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 - пpедложение 3.3:

Предложение 3.4 Множество

всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке
- это линейное пpостpанство:

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции) Пусть функция

непрерывна на отрезке
, причём
и
- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что
, а
.) Тогда существует хотя бы одно такое значение
, что
(то есть существует хотя бы один корень
уравнения
).

Доказательство. Рассмотрим середину отрезка

. Тогда либо
, либо
, либо
. В первом случае корень найден: это
. В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция
принимает значения разных знаков:
в случае
или
в случае
. Выбранную половину отрезка обозначим через
и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины
и
, где
, и найдём
. В случае
корень найден; в случае
рассматриваем далее отрезок
в случае
- отрезок
и т.д.

Рис.3.16. Последовательные деления отрезка пополам

Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень

, либо будет построена система вложенных отрезков

в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность

- неубывающая и ограниченная сверху (например, числом
); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел
. Последовательность
- невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом
); значит, существует предел
. Поскольку длины отрезков
образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем
), то они стремятся к 0, и
, то есть
. Положим, теперь
. Тогда

и

поскольку функция

непрерывна. Однако, по построению последовательностей
и
,
и
, так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7),
и
, то есть
и
. Значит,
, и
- корень уравнения
.