Дослідження нестандартних методів рішення рівнянь і нерівностей. (стр. 3 из 6)
Відповідь: (-?; 0).
Приклад 2.1.3 Вирішите рівняння
. (3)Рішення. Область припустимих значень рівняння (3) є проміжок
. На ОПЗ функції 
й 
безперервні й строго убувають, отже, безперервна й убуває функція 
. Тому кожне своє значення функція h(x) приймає тільки в одній крапці. Тому що , 
те х = 2 є єдиним коренем вихідного рівняння.Відповідь: {2}.
2.2 Використання обмеженості функції
При рішенні рівнянь і нерівностей властивість обмеженості знизу або зверху функції на деякій множині часто відіграє визначальну роль.
Якщо існує число C таке, що для кожного
виконується нерівність f (x) ≤ C, те функція f називається обмеженої зверху на множині D (малюнок 2). 
Малюнок 2
Якщо існує число c таке, що для кожного
виконується нерівність f (x) ≥ c, те функція f називається обмеженої знизу на множині D (малюнок 3). 
Малюнок 3
Функція, обмежена й зверху, і знизу, називається обмеженої на множині D. Геометрично обмеженість функції f на множині D означає, що графік функції y = f (x),
лежить у смузі c ≤ y ≤ C (малюнок 4). 
Малюнок 4
Якщо функція не є обмеженою на множині, то говорять, що вона не обмежена.
Прикладом функції, обмеженої знизу на всій числовій осі, є функція y = x2. Прикладом функції, обмеженої зверху на множині (–∞; 0) є функція y = 1/x. Прикладом функції, обмеженої на всій числовій осі, є функція y = sin x.
Приклад 2.2.1 Вирішите рівняння
sin(x3 + 2х2 + 1) = х2 + 2х + 2. (4)
Рішення. Для будь-якого дійсного числа х маємо sin(x3 + 2х2 + 1) ≤ 1, х2 + 2х + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Оскільки для будь-якого значення х ліва частина рівняння не перевершує одиниці, а права частина завжди не менше одиниці, то дане рівняння може мати рішення тільки при
.При
, 
, тобто при рівняння (4) так само корінь не має .Відповідь: O.
Приклад 2.2.2 Вирішите рівняння
. (5)Рішення. Очевидно, що х = 0, х = 1, х = -1 є рішеннями даного рівняння. Для знаходження інших рішень у силу непарності функції f(х) = = x3 - x - sin πx досить знайти його рішення в області х > 0, х ≠ 1, оскільки якщо x0 > 0 є його рішенням, те й (-x0) також є його рішенням.
Розіб'ємо множину х > 0, х ? 1, на два проміжки: (0; 1) і (1; +?)
Перепишемо початкове рівняння у вигляді x3 - x = sin πx. На проміжку (0; 1) функція g(х) = x3 - x приймає тільки негативні значення, оскільки х3 < < х, а функція h(x) = sin πx тільки позитивні. Отже, на цьому проміжку рівняння не має рішень.
Нехай х належить проміжку (1; +∞). Для кожного з таких значень х функція g(х) = х3 - х приймає позитивні значення, функція h(x) = sin πx приймає значення різних знаків, причому на проміжку (1; 2] функція h(x) = sin ?x непозитивна. Отже, на проміжку (1; 2] рівняння рішень не має.
Якщо ж х > 2, то |sin πx| ≤ 1, x3 - x = x(x2 - 1) > 2∙ 3 = 6, а це означає, що й на проміжку (1; +∞) рівняння також не має рішень.
Отже, x = 0, x = 1 і x = -1 і тільки вони є рішеннями вихідного рівняння.
Відповідь: {-1; 0; 1}.
Приклад 2.2.3 Вирішите нерівність
. (6)Рішення. ОПЗ нерівності є всі дійсні x, крім x = -1. Розіб'ємо ОПЗ нерівності на три множини: -? < x < -1, -1 < x ? 0, 0 < x < +? і розглянемо нерівність на кожному із цих проміжків.
Нехай -∞ < x < -1. Для кожного із цих x маємо g(x) =
< 0, а f(x) = 2x > 0. Отже, всі ці x є рішеннями нерівності.Нехай -1 < x ≤ 0. Для кожного із цих x маємо g(x) = 1 -
, а f(x) = 2x ≤ 1. Отже, жодне із цих x не є рішенням даної нерівності.Нехай 0 < x < +∞. Для кожного із цих x маємо g(x) = 1 -
, a 
. Отже, всі ці x є рішеннями вихідної нерівності.Відповідь:
.2.3 Використання періодичності функції
Функція f (x) називається періодичної з періодом T ≠ 0, якщо виконуються дві умови:
якщо
, то x + T і x – T також належать області визначення D (f (x));для кожного
виконана рівністьf (x + T) = f (x).
Оскільки
те з наведеного визначення треба, що 
Якщо T – період функції f (x), то очевидно, що кожне число nT, де
, n ≠ 0, також є періодом цієї функції.Найменшим позитивним періодом функції називається найменше з позитивних чисел T, що є періодом даної функції.
Графік періодичної функції
Графік періодичної функції звичайно будують на проміжку [x0; x0 + T), а потім повторюють на всю область визначення.
Гарним прикладом періодичних функцій можуть служити тригонометричні функції y = sin x, y = cos x (період цих функцій дорівнює 2π), y = tg x (період дорівнює π) і інші. Функція y = const також є періодичною. Для неї періодом є будь-яке число T ≠ 0.
На закінчення відзначимо властивості періодичних функцій. [19]
Якщо f (x) – періодична функція з періодом T, то функція
g (x) = A · f (kx + b)
де k ≠ 0 також є періодичною з періодом
.Нехай функції f1 (x) і f2 (x) визначені на всій числовій осі і є періодичними з періодами T1 > 0 і T2 > 0. Тоді якщо
те функція 
періодична з періодом T, рівним найменшому загальному кратному чисел T1 і T2.Приклад 2.4.1 Функція
періодична з періодом T = 5. Відомо, що 
. Знайдіть 
Рішення. Перетворимо окремо кожний доданок:
Тоді
Відповідь: 2.
Приклад 2.4.2 [24] Знайдіть період функції
Рішення. Перетворимо дане вираження:
має період 
; 
має період 
.Тоді функція
має період 
Відповідь: ?.
Приклад 2.4.3 Нехай
- періодична функція з періодом 3 така, що 
; 
.