Смекни!
smekni.com

О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1 (стр. 1 из 5)

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Допущена к защите

Зав. кафедройШеметков Л.А.

« » 2007 г.

О ω-насыщенных формациях с

-разложимым дефектом 1

Курсовая работа

Исполнитель:

Студент группы М-51А.И. Рябченко

Научный руководитель:

к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов

Гомель 2007


Оглавление

1. Введение

2. Основные понятия и обозначения

3. Используемые результаты

4. Основной результат

5 Заключение

Литература


1. Введение

Работа посвящена изучению решеточного строения частично насыщенных формаций конечных групп. Основным рабочим инструментом исследования является понятие H-дефекта ω-насыщенной формации. При этом, под H-дефектом ω-насыщенной формации F понимают длину решетки ω-насыщенных формаций, заключенных между формацией F

H и F.

В случае, когда H – формация всех

-разложимых групп, H-дефект ω-насыщенной формации F называют ее
-разложимым lω-дефектом. Доказано, что
-разложимый lω-дефект частично насыщенной формации F равен 1 в том и только в том случае, когда F представима в виде решеточного объединения минимальной ω-насыщенной не
-разложимой подформации и некоторой ω-насыщенной
-разложимой подформации формации F. Приведен ряд следствий.

Полученные результаты являются естественным развитием исследований, связанных с изучением решеточного строения частично насыщенных формаций, имеющих заданный нильпотентный или разрешимый lω-дефекты. Работа может быть полезна при изучении и классификации ω-насыщенных формаций с заданной структурой ω-насыщенных подформаций.

Рассматриваются только конечные группы. Используется терминология из [1–3].

В работе [4] было введено понятие H-дефекта насыщенной формации и получена классификация насыщенных формаций с нильпотентным дефектом

2. При этом под H-дефектом насыщенной формации F понимают длину решетки насыщенных формаций, заключенных между F
H и F.

В дальнейшем этот результат получил развитие в разных направлениях, поскольку нашел широкое применение в теоретических исследованиях. Содной стороны, в качестве H стали рассматривать другие достаточно хорошо известные классы (А.Н.Скиба, 1991г., В.В.Аниськов, 1995-2003гг.). С другой стороны, исследовались решетки насыщенных формаций большей длины (В.Г.Сафонов 1996-2004г.). Кроме того, этот подход нашел широкое применение при изучении структурного строения формаций групп других типов (n-кратно насыщенные формации, тотально насыщенные формации и др.).

В теории ω-насыщенных формаций данный метод был использован Дж. Джехадом [5] и Н.Г.Жевновой [6] при изучении p-насыщенных и ω-насыщенных формаций с нильпотентным lω-дефектом 1. Классификация неразрешимых ω-насыщенных формаций, имеющих разрешимую максимальную ω-насыщенную подформацию, получена в [7].

Естественным развитием исследований в этом направлении является изучение решеточного строения частично насыщенных формаций, близких к N по тем или иным свойствам. Так в совместной работе авторов было дано описание не

-нильпотентной ω-насыщенной формации с
-нильпотентноймаксимальной ω-насыщенной подформацией [8].

В данной работе получена классификация частично насыщенных формаций

-разложимого lω-дефекта 1.

Основным результатом является

Теорема 1.Пусть F – некоторая ω-насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае

-разложимый lω-дефект формации F равен 1, когда F=MVωH, где M – ω-насыщенная
-разложимая подформация формации
F, H – минимальная ω-насыщенная не
-разложимая подформация формации
F, при этом: 1) всякая ω-насыщенная
-разложимая подформация из
F входит в MVω(H

X); 2) всякая ω-насыщенная не
-разложимая подформация
F1из F имеет видHVω(F1
X).

2. Основные понятия и обозначения

Пусть ω – некоторое непустое множество простых чисел. Тогда через ω 'обозначают дополнение к ω во множестве всех простых чисел.

Всякую функцию вида f: ω

{ω'}

{формации групп} называют ω-локальным спутником. Если f –произвольный ω-локальный спутник, то LFω(f)={ G | G/Gωd
f(ω') и G/Fp(G)
f(p) для всех p
ω
(G)}, где Gωd –наибольшая нормальная подгруппа группы G, у которой для любого ее композиционного фактора H/K имеет место
(H/K)
ω
Ø, Fp(G) – наибольшая нормальная p-нильпотентная подгруппа группы G, равная пересечению централизаторов всех pd-главных факторов группы G .

Если формация F такова, что F=LFω(f) для некоторого ω-локального спутника f, то говорят, что F является ω-локальной формацией, а f ее ω-локальный спутник.Если при этом все значения f лежат в F, то f называют внутренним ω-локальным спутником.

Пусть X – произвольная совокупность групп и p – простое число. Тогда полагают, что X(Fp)=form(G/Fp(G) | GÎX), если p

(X), X(Fp)=Ø, если p
(X).

Формация F называется ω-насыщенной, если ей принадлежит всякая группа G, удовлетворяющая условию G /L

F, где L
Ф(G)∩Oω(G).

Ввиду теоремы 1 [1, c. 118] формация является ω-локальной тогда и только тогда, когда она является ω-насыщенной.

Через lω обозначают совокупность всех ω-насыщенных формаций.

Полагают lωformFравным пересечению всех тех ω-насыщенных формаций,которые содержат совокупность групп F.

Для любых двух ω-насыщенных формаций M и H полагают M

H=M∩H, а MVωH=lωform(M
H). Всякое множество ω-насыщенных формаций, замкнутое относительно операций
и Vω, является решеткой. Таковым, например, является множество lω всех ω-насыщенных формаций.

Через F/ωF∩H обозначают решетку ω-насыщенных формаций, заключенных между F∩H и F. Длину решетки F/ωF∩H обозначают|F:F∩H |ω и называют Hω-дефектом ω-насыщенной формации F.

ω-Насыщенная формация F называется минимальной ω-насыщенной не H-формацией, если F

H, но все собственные ω-насыщенные подформации из Fсодержатся в H.