Функции Бесселя (стр. 1 из 7)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСВТЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Экономический факультет

Кафедра математики и информатики

Курсовая работа

на тему:

Функции Бесселя

Выполнил студент 2 курса

группы ПМиИ-08

Александрова А.Ю._______

«___»____________2010г.

Научный руководитель

к.ф.-м.н., ст. пр.

Сидоренко О.Г._______

«___»____________2010г.

Стерлитамак 2010

Содержание

Введение

1 Функции Бесселя с целым положительным значком

2 Функции Бесселя с произвольным значком

3 Общее представление цилиндрических функций. Функции Бесселя второго рода

4 Разложение в ряд функции Бесселя второго рода с целым значком

5 Функции Бесселя третьего рода

6 Функции Бесселя мнимого аргумента

7 Цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа

8 Асимптотические представления цилиндрических функций для больших значений аргумента

9 Нули цилиндрических функций

10 Пример

Заключение

Список литературы

Введение

Цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения второго порядка

, (1)

где

– комплексное переменное,

– параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения.

Термин «цилиндрические функции» обязан своим происхождением тому обстоятельству, что уравнение (1) встречается при рассмотрении краевых задач теории потенциала для цилиндрической области.

Специальные классы цилиндрических функций известны в литературе под названием функций Бесселя, и иногда это наименование присваивается всему классу цилиндрических функций.

Хорошо разработанная теория рассматриваемых функций, наличие подробных таблиц и широкая область применений служат достаточным основанием для того, чтобы отнести цилиндрические функции к числу наиболее важных специальных функций.

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

1) электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

2) теплопроводность в цилиндрических объектах;

3) формы колебания тонкой круглой мембраны;

4) скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Цилиндрические функции Бесселя являются самыми распространенными из всех специальных функций. Они имеют многочисленные приложения во всех естественных и технических науках (особенно в астрономии, механике и физике). В ряде задач математической физики встречаются цилиндрические функции, в которых аргумент или индекс (иногда и тот и другой) принимают комплексные значения. Для численного решения таких задач необходимо разработать алгоритмы, позволяющие вычислять функции Бесселя с высокой точностью.

Цель курсовой работы: изучение функций Бесселя и применение их свойств в решении дифференциальных уравнений.

Задачи:

1) Изучить уравнение Бесселя и модифицированное уравнение Бесселя.

2) Рассмотреть основные свойства функций Бесселя, асимптотические представления.

3) Решить дифференциальное уравнение с использованием функции Бесселя.

1 Функции Бесселя с целым положительным значком

Для рассмотрения многих проблем, связанных с применением цилиндрических функций, достаточно ограничиться изучением специального класса этих функций, который соответствует случаю, когда параметр

в уравнении (1) равен нулю или целому положительному числу.

Исследование данного класса носит более элементарный характер, чем теория, относящаяся к произвольным значениям

, и может служить хорошим введением в эту общую теорию.

Покажем, что одним из решений уравнения

0, 1, 2, …, (1.1)

является функция Бесселя первого рода порядка

, которая для любых значений определяется как сумма ряда

(1.2)

При помощи признака Даламбера легко убедиться, что рассматриваемый ряд сходится на всей плоскости комплексного переменного и, следовательно, представляет целую функцию от

.

Если обозначить левую часть уравнения (1.1) через

и ввести сокращенную запись коэффициентов ряда (1.2), положив

то в результате подстановки получим

откуда следует

так как выражение в фигурных скобках равно нулю. Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1.1), т. е. представляет собой цилиндрическую функцию.

Простейшими функциями рассматриваемого класса являются функции Бесселя порядка нуль и единица:

(1.3)

Покажем, что функции Бесселя других порядков могут быть выражены через эти две функции. Для доказательства предположим, что а — целое положительное число, умножим ряд (1.2) на

и продифференцируем по . Мы получим тогда

(1.4)

Аналогичным образом, умножая ряд на

находим

(1.5)

Выполнив дифференцирование в равенствах (1.4 – 1.1) и разделив на множитель

, приходим к формулам:

(1.6)

откуда непосредственно следует:

(1.7)

(1.8)

Полученные формулы известны под названием рекуррентных соотношений для функций Бесселя.

Первое из соотношений дает возможность выразить функцию произвольного порядка

через функции порядков нуль и единица, что существенным образом сокращает работу по составлению таблиц функций Бесселя.

Второе соотношение позволяет представить производные от функций Бесселя через функции Бесселя. Для

это соотношение должно быть заменено формулой

(1.9)

непосредственно вытекающей из определения данных функций.

Функции Бесселя первого рода

просто связаны с коэффициентами разложения функции в ряд Лорана [1]):

(1.10)

Коэффициенты этого разложения могут быть вычислены путем перемножения степенных рядов:

и объединения членов, содержащих одинаковые степени

. Выполнив это, получим: