Похідні та диференціали функції багатьох змінних (стр. 1 из 4)

ПОХІДНІ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛИ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

1 Частинні похідні

Нехай функція

визначена в деякому околі точки .
Надамо змінній x приросту , залишаючи змінну незмінною, так, щоб точка належала заданому околу.

Величина

називається частинним приростом функції

за змінноюx.

Аналогічно вводиться частинний приріст

функції за змінною :

.

Якщо існує границя

,

то вона називається частинною похідною функції

в точці за змінною x і позначається одним із таких символів:

.

Аналогічно частинна похідна функції

за визначається як границя

і позначається одним із символів:

.

Згідно з означенням при знаходженні частинної похідної

обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної x, вважаючи змінну сталою, а при знаходженні похідної сталою вважається змінна x. Тому частинні похідні знаходять за формулами і правилами обчислення похідних функцій однієї змінної.

Частинна похідна

(або ) характеризує швидкість зміни функції в напрямі осі (або ).

З’ясуємо геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних. Графіком функції

є деяка поверхня (рис 1). Графіком функції є лінія перетину цієї поверхні з площиною . Виходячи з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної, отримаємо, що , де – кут між віссю і дотичною, проведеною до кривої в точці . Аналогічно .

Рисунок 1 – Геометричний зміст частинних похідних

Для функції

n змінних можна знайти n частинних похідних:

,

де

,

.

Щоб знайти частинну похідну

, необхідно взяти звичайну похідну функції за змінною , вважаючи решту змінних сталими.

Якщо функція

задана в області і має частинні похідні в усіх точках , то ці похідні можна розглядати як нові функції, задані в області .

Якщо існує частинна похідна за x від функції

, то її називають частинною похідною другого порядку від функції за змінною x і позначають або .

Таким чином, за означенням

або .

Якщо існує частинна похідна від функції

за змінною , то цю похідну називають мішаною частинною похідною другого порядку від функції і позначають , або .

Отже, за означенням

або .

Для функції двох змінних

можна розглядати чотири похідні другого порядку:

.

Якщо існують частинні похідні від частинних похідних другого порядку, то їх називають частинними похідними третього порядку функції

, їх вісім:

.

Виникає запитання: чи залежить результат диференціювання від порядку диференціювання? Інакше кажучи, чи будуть рівними між собою мішані похідні, якщо вони взяті за одними і тими самими змінними, одне й те саме число разів, але в різному порядку? Наприклад, чи дорівнюють одна одній похідні

і або і ?

У загальному випадку відповідь на це запитання негативна.

Проте справедлива теорема, яку вперше довів К.Г.Шварц.

Теорема (про мішані похідні).Якщо функція

визначена разом із своїми похідними в деякому околі точки , причому похідні та неперервні в точці , то в цій точці

.

Аналогічна теорема справедлива для будь-яких неперервних мішаних похідних, які відрізняються між собою лише порядком диференціювання.

2 Диференційованість функції

похідна диференціал функція змінна

Нехай функція

визначена в деякому околі точки . Виберемо прирости і так, щоб точка належала розглядуваному околу і знайдемо повний приріст функції в точці :