Решение задачи об оптимальной интерполяции с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) (стр. 1 из 8)

Введение

Предложенная мне тема «Решение задачи об оптимальной интерполяции с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ)» написана на основе книги В. Н. Малоземова и С. М. Машарского «Основы дискретного гармонического анализа». Дискретный гармонический анализ – это математическая дисциплина, результаты которой активно используются в цифровой обработке сигналов. По ходу изучения книги возникли новые задачи, две из которых приведены в разделе «Решения задач». В данной работе также сравнивается ДПФ с непрерывным преобразованием Фурье. В приложениях в случае классического преобразования приходится приближенно заменят интегралы некоторыми суммами. При этом основная трудность связана с необходимостью оценки погрешности на каждом из последующих этапов. ДПФ тем выгоднее и отличаются, что здесь с самого начала вместо интегралов имеем дело с суммами. При этом основные цели использования ДПФ также достигаются.

Рассматриваются различные преобразования

- периодических векторов, среди которых центральную роль играет ДПФ. Задача об оптимальной интерполяции является приложением ДПФ.

Отдельные задачи в рамках дипломной работы мне решить не удалось. Они не вошли в дипломную работу.

Основная работа свелась к изложению основных фактов с подробными доказательствами. В начале дипломной работы имеется раздел «Вспомогательный материал», в котором кратко изложены факты, необходимые для чтения основного текста. Эти факты хорошо известны и касаются тех понятий и терминов, которые встречаются в теории чисел, в теории линейных комплексных пространств и в линейной алгебре. Все эти понятия используются для получения более важных результатов в последующих параграфах.

Далее вводится пространство

- периодических векторов и устанавливается тот факт, что - линейное комплексное пространство.

Над элементами этого пространства определяются прямое и обратное ДПФ.

Решены задачи, составлена и апробирована программа, которая реализует оптимальную интерполяцию. Также составлены программы, которые вычисляют свертку двух периодических векторов и ДПФ.

При решении задачи оптимальной интерполяции сначала переходим к новым переменным с помощью ДПФ. Далее полеченную задачу решаем методом множителей Лагранжа. И, наконец, переходим к исходным переменным с помощью формулы обращения.

2

§ 1. Вспомогательный материал

В данной работе используются следующие обозначения:

Z, R, C – множества целых, действительных и комплексных чисел соответственно;

m : n – множество последовательных целых чисел {m, m+1, … , n}.

1.Корни из единицы. Допустим

– натуральное число, . Введём комплексное число

(1)

По формуле Муавра при натуральном k получаем

(2)

В частности,

Число называется корнем – й степени из единицы.

Формула (2) верна при k=0. Покажем, что она верна и при целых отрицательных степенях

. Действительно,

Значит, получили, что формула (2) справедлива при всех

Отметим, что

и при натуральном . Из (2) и свойств тригонометрических функций следует также, что при всех целых и

Применяя формулу Эйлера, имеем

2.Комплексное унитарное пространство. Будем говорить, что в комплексном линейном пространстве определено скалярное умножение, если всякой паре векторов a, b поставлено в соответствие число, обозначаемое символом (a, b) и называемое скалярным произведением векторов a и b. Причём (a, b) будет, вообще говоря, комплексным числом.

3

При этом должны выполнятся аксиомы:

1.

, где черта обозначает, как обычно, переход к сопряжённому комплексному числу;

2.

3.

4.Если а ≠ 0, то скалярный квадрат вектора а строго положителен, т.е.

(а. а) > 0, а если (а, а) = 0, то а = 0.

Комплексное линейное пространство называется унитарным пространством, если в нём задано скалярное умножение.

Векторы а и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю

(а, b) = 0.

Система векторов называется ортогональной системой, если все векторы этой системы попарно ортогональны.

Назовём вектор b нормированным, если его скалярный квадрат равен единице

(b, b) = 1.

При этом, если

- ортонормированная база и векторы а, b

имеют в этом базе записи

а =

, , то .

Также имеем равенство

(3)

3.Вычеты. Пусть

и – натуральное число. Существует единственное целое число , такое, что

(4)

Оно называется целой частью дроби

и обозначается

Разность

называется вычетом по модулю и обозначается .

4

Нетрудно показать, что

. (5)

Действительно, умножим неравенства (4) на

и вычтем .

Получим

, что равносильно (5).

4.Функции комплексного переменного. На плоскостях комплексных переменных z и w рассмотрим соответственно множества

и .

Если указан закон f, по котором каждому значению

сопоставляется единственное значение , то говорят, что на множестве Е определена однозначная функция комплексного переменного z и пишут w=f(z).

Функции

определяются как суммы степенных рядов:

, , . (6)

Из этих равенств непосредственно можно получить следующие формулы Эйлера:

, , . (7)