Комплексные числа (стр. 1 из 6)
§ 1.Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах
Определение комплексного числа
Комплексные равенства
Геометрическое изображение комплексных чисел
Модуль и аргумент комплексного числа
Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа
Арифметические действия над комплексными числами
Показательная форма комплексного числа
Формулы Эйлера
§ 2.Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел
Определение алгебраического уравнения -й степени
Основные свойства многочленов
Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел
Вопросы для самопроверки
Глоссарий
§ 1. Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах
Определение комплексного числа (Сформулируйте определение комплексного числа)
Комплексным числомz называется выражение следующего вида:
Комплексное число в алгебраической форме,(1)
Где x, yÎ;
i — это мнимая единица, определяемая равенством i2 = –1.
Основные термины:
x = Re z — действительная часть комплексного числа z;
y = Im z — мнимая часть комплексного числа z;
— комплексно сопряженное числочислу z; 
— противоположное числочислу z; 
— комплексный ноль; 
– так обозначается множество комплексных чисел.Примеры
1)z = 1 + iÞ Re z = 1, Im z = 1,
= 1 – i, 
= –1 – i;2)z = –1 +
iÞ Re z = –1, Im z = 
, 
= –1 – i, = –1 – i;3)z = 5 + 0i = 5 Þ Re z = 5, Im z = 0,
= 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5Þ если Imz = 0, то z = x — действительное число;
4)z = 0 + 3i = 3iÞ Re z = 0, Im z = 3,
= 0 – 3i = –3i, = –0 – 3i = – 3iÞ если Rez = 0, то z = iy — чисто мнимое число.
Комплексные равенства (Сформулируйте смысл комплексного равенства)
1)
;2)
.Одно комплексное равенство равносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенства получаются из комплексного равенства разделением действительных и мнимых частей.
1)
;2)
.Геометрическое изображение комплексных чисел (В чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел?)
Комплексное число z изображается точкой (x, y) на комплексной плоскости или радиус-вектором этой точки.
Знак zво второй четверти означает, что система декартовых координат 
будет использоваться как комплексная плоскость.Модуль и аргумент комплексного числа (Что такое модуль и аргумент комплексного числа?)
Модулем комплексного числа
называется неотрицательное действительное число 
.(2)Геометрически модуль комплексного числа — это длина вектора, изображающего число z, или полярный радиус точки (x, y).
Аргумент комплексного числаz— это угол между положительным направлением действительной оси и вектором z (геометрически – это полярный угол точки (x, y)).
Обозначение
, причем 
, или 
.Для вычисления аргумента комплексного числа используется формула
Аргумент комплексного числа ,(3)
причем, при определении угла
по его тангенсу обязательно нужно учитывать, в какой четверти на комплексной плоскости расположено число z:
Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа (Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?)
Так как геометрически очевидно, что
и 
, то 
Тригонометрическая форма комплексного числа .(4)
Запись z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа z; запись z = r(cosj + i sinj) называется тригонометрической формой комплексного числа z.
Примеры
Изобразить на комплексной плоскости следующие числа и записать их в тригонометрической форме.
1)z = 1 + iÞ
, 
Þ 
Þ
;
2)
Þ 
, 
Þ 
Þ
; 
3)
Þ 
, 
Þ 
Þ 
;
4)
, 
; 
5)
,