регистрация /  вход

Решение нелинейных уравнений

Лабораторная работа

Решение нелинейных уравнений


Задание

N =07

М=2

Дано уравнение:

1. Найти все решения уравнения графически.

2. Уточнить значение одного из действительных решений уравнения с точностью до

e= 0,001:

2.1. *методом половинного деления;

2.2. *методом Ньютона - Рафсона;

2.3. методом секущих;

2.4. конечно-разностным методом Ньютона;

2.5. *методом простой итерации;

2.6. *методом хорд и касательных

2.7. комбинированным методом Ньютона.

3. Результаты расчетов оформить таблично с кратким описанием каждого использованного метода: расчетные формулы, выбор начального приближения, критерий остановки и пр.

4. Из методов пункта 2 задание на лабораторную работу предусматривает обязательное использование 4-х методов, отмеченных звездочками, и одного из остальных методов по усмотрению студента.

нелинейный уравнение графический ньютон итерация


1. Решение уравнения графически:

2. Метод половинного деления

Расчетная формула: следующее значение x получается делением отрезка пополам.

Начальное приближение:

Критерий остановки:

<2
;
.

Таблица результатов

Метод половинного деления
k ak bk xk f(ak ) f(bk ) f(xk ) |bk -ak | f(xk )*f(ak ) f(xk )*f(bk ) |bk -ak |<2ε
0 0 1,5 0,75 -2,070 4,305 -0,148 1,5 0,306360 -1,000000 -
1 0,75 1,5 1,125 -0,148 4,305 1,604 0,75 -0,237392 6,905220 -
2 0,75 1,125 0,938 -0,148 1,604 0,631 0,375 -0,093388 1,012120 -
3 0,75 0,938 0,844 -0,148 0,631 0,219 0,188 -0,032412 0,138190 -
4 0,75 0,844 0,797 -0,148 0,219 0,03 0,094 -0,004440 0,006570 -
5 0,75 0,797 0,774 -0,148 0,03 -0,058 0,047 0,008584 -0,001740 -
6 0,774 0,797 0,786 -0,058 0,03 -0,012 0,023 0,000696 -0,000360 -
7 0,786 0,797 0,792 -0,012 0,03 0,011 0,011 -0,000132 0,000330 -
8 0,786 0,792 0,789 -0,012 0,011 -0,001 0,006 0,000012 -0,000010 -
9 0,789 0,792 0,791 -0,001 0,011 0,007 0,003 -0,000007 0,000080 -
10 0,789 0,791 0,790 -0,001 0,007 0,003 0,002 -0,000003 0,000020 -
11 0,789 0,790 0,790 -0,001 0,003 0,003 0,001 +

3. Метод Ньютона – Рафсона

Расчетная формула:

, где

Начальное приближение:

.

Критерий остановки: |f(xk+1 )-f(xk )|<ε;

.

Таблица результатов:

Метод Ньютона – Рафсона
k xk f(xk ) f'(xk ) |f(xk+1 )-f(xk )|<ε
0 0,75 -0,1481 3,688 -
1 0,79 0,003 3,872 -
2 0,789 -0,0008 3,868 +

4. Метод Ньютона – Рассела

Расчетная формула:

Начальное приближение: : x = 0,75

Критерий остановки: |f(xk+1 )-f(xk )|<ε,

.

Таблица результатов:

Метод Ньютона – Рассела
k xk h xk +h f(xk ) f(xk +h) |f(xk+1 )-f(xk )|<ε
0 0,75 1 1,75 -0,1481 6,789 -
1 0,771 1 1,771 -0,0697 7,027 -
2 0,781 1 1,781 -0,0316 7,141 -
3 0,785 1 1,785 -0,0163 7,187 -
4 0,787 1 1,787 -0,0086 7,211 -
5 0,788 1 1,788 -0,0047 7,222 -
6 0,789 1 1,789 -0,0008 7,234 -
7 0,789 1 1,789 -0,0008 7,234 +

5. Метод простой итерации

Расчетная формула:. x

=
(x
), где
(x)=x - kf(x), k=0.11

Начальное приближение: x= 0,75

Критерий остановки: |xk+1 -xk |≤ε;

.

Таблица результатов

Метод простой итерации
k xk φ(xk ) |xk+1 -xk |≤ε
0 0,5 0,604 -
1 0,604 0,675 -
2 0,675 0,720 -
3 0,720 0,748 -
4 0,748 0,765 -
5 0,765 0,775 -
6 0,775 0,781 -
7 0,781 0,784 -
8 0,784 0,786 -
9 0,786 0,787 -
10 0,787 0,788 -
11 0,788 0,789 -
12 0,789 0,789 +

6. Метод хорд и касательных

Расчетная формула:

,

,где
.

Начальное приближение:

,

Критерий остановки:

;
.

Таблица результатов:

Метод хорд и касательных
k ak bk f(ak ) f(bk ) f'(ak ) f'(bk ) f''(ak ) f''(bk ) f(ak ) *f''(ak ) f(bk ) *f''(bk ) |bk -ak |<2ε
0 0 1,5 -2,070 4,305 2 8,75 0 9 0 38,745 -
1 0,487 1,022 -0,980 1,041 2,712 5,133 2,922 6,132 -2,86 6,383 -
2 0,746 0,852 -0,163 0,252 3,67 4,178 4,476 5,112 -0,73 1,288 -
3 0,788 0,803 -0,005 0,054 3,863 3,934 4,728 4,818 -0,02 0,26 -
4 0,789 0,792 -0,001 0,011 3,868 3,882 4,734 4,752 -0,01 0,052 -
5 0,789 0,79 -0,001 0,003 3,868 3,872 4,734 4,74 -0,01 0,014 +

Вывод

Название метода Вычислительная сложность Сложность реализации Глобальная сходимость Скорость сходимости
h Произв.
Метод Ньютона-Рафсона - + +++ - квадратичная
Метод половинного деления - - + + линейная
Метод простой итерации - - + - линейная
Конечно-разностный метод + - ++ - сверхлинейная (при хорошем выборе h)
Метод секущих - + ++ - сверхлинейная
Метод хорд и касательных - + +++ квадратичная
Метод хорд - + +++ - Сначала лин., потом сверхлин.

Узнать стоимость написания работы
Оставьте заявку, и в течение 5 минут на почту вам станут поступать предложения!