Випадкова величина (стр. 1 из 2)
ТЕМА
ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА
1 Випадкова величина. Функція розподілу випадкової величини
Зіставимо кожну елементарну подію конкретного випробування з деяким числом. Наприклад, розглянемо випробування, що полягає в підкиданні монети. Маємо простір елементарних подій – множину з двох можливих рівно ймовірних наслідків випробування: w1 – випадання "решки" та w2 – випадання герба. Введемо до розгляду функцію x= f(w), що визначається за формулами: f(w1)=0, f(w2)=1. Це – числова функція (випадкова величина), яка залежить від випадку. Позначимо її через
: 
Для значень, яких у результаті випробувань може рівно ймовірно набувати функція
, застосуємо символи 
та 
. Відповідно з нашою угодою, вони дорівнюють 
і 
У загальному випадку задовільної випадкової величини позначатимемо її однією з грецьких літер x,h,..., а значення, яких вона набуває літерами латинської абетки: х, y,..... Відповідність між цими значеннями та ймовірностями, з якими їх набуває така функція
, зручно задати у вигляді табл. 1, що називається законом розподілу дискретної випадкової величини:Таблиця 1
 |  |  |  | ... |  |
 |  |  |  | ... |  |
У випадку зазначеної конкретної випадкової величини, пов’язаної з випадінням сторін підкинутої монети, табл. 1 конкретизується у вигляді табл. 2:
Таблиця 2
| | 0 | 1 |
| | 1/2 | 1/2 |
Цю закономірність можна також наочно представити на площині xOy, розмістивши на горизонтальній осі значення
і , а на вертикальній осі, що доцільно було перемістити з її традиційного положення – відповідні їм ймовірності (рис. 1). При цьому графік функції 
складається тільки з двох точок ( , 
) і ( , 
). В інших точках горизонтальної осі функція взагалі принципово не визначена.Ще більш наочно закон розподілу дискретної випадкової величини зображається специфічною функцією
що називається функцією розподілу випадкової величини
. 
Рисунок 1
У відповідності з її визначенням, вона дає в точці x ймовірність того, що випадкова величина розташована на осі Ox зліва від цієї точки x. Зокрема, для випадкової величини, заданої законом розподілу в табл. 2, ця функція має складний вигляд із різними представленнями на різних інтервалах
На рис. 2 наведено її графік з двома неусувними розривами 1-го роду.
Рисунок 2
Розглянемо ще один приклад введення випадкової величини. Нехай є мішень – круг радіуса а, влучення до якого гарантовано. Як випадкову величину, що позначимо як
, візьмемо відстань від центра мішені до точки влучення. Ймовірність того, що ця випадкова величина набуває різних значень r від нуля до а, обчислюється за формулою геометричної ймовірност: 
При цьому функція розподілу
графік якої зображено на рис. 3, має вигляд
Рисунок 3
Модифікуємо попередній приклад: нехай всередині круга радіуса а, влучення до якого гарантовано, проведено два концентричні кола (рис. 4) з радіусами a/3 і 2a/ В залежності від відстані точки влучення від центра мішені стрілець одержує 10, 5 чи 1 бал, відповідно.
Рисунок 4
За випадкову величину, що позначимо як
, візьмемо тепер кількість очок, набраних при пострілі по мішені. Її можливі значення: 10, 5, 1. Обчислимо ймовірності випадків прийняття цих значень величиною 
, 
, 
При цьому закон розподілу випадкової величини
має вигляд табл. 3:Таблиця 3
 | 1 | 5 | 10 |
 | 5/9 | 1/3 | 1/9 |
За цим законом розподілу випадкової величини
знаходимо функцію її розподілу та будуємо її графік (рис. 5). 
Рисунок 5
Властивості функції розподілу:
1. F(x) – неубутна функція. Дійсно, якщо x1<x2 (рис. 6).
Рисунок 6
F(x2)=P(x<x2)=P(x<x1)+P(x1<x<x2)>P(x<x1)=F(x1); F(x1)<F(x2);
2. F(+¥)=1; F(-¥)=0; F(+¥)=P(x<¥)=1;
P(-¥<x<¥)=1; F(-¥)=0;
P(a£x<b)=P(x<b) - P(x<a)=Fx(b) - Fx(a).
Якщо функція розподілу в деякій точці x=а має неусувний розрив 1-го роду – стрибок на величину р, (рис. 7) то Р(x=а)=р.
Рисунок 7
Дійсно, розглянемо [а, b), b® a+0.
P(x=а)=
.Найбільш важливими типами випадкових величин є дискретні і неперервні випадкові величини, які будуть розглянуті більш докладно.
2 Дискретна випадкова величина
Випадкова величина називається дискретною, якщо її можливі значення можна перенумерувати.
Нехай х1,х2,…,хn – можливі значення дискретної випадкової величини в порядку зростання.
Випадкові події [x=x1], [x=x2], …[x=xn] утворять повну систему елементарних подій. При цьому
, 
Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати таблицею (табл. 1) чи геометрично – точками на площині (xi, pi); або ламаною, що з'єднує ці точки та називається багатокутником розподілу (рис. 8):
Рисунок 8
Цьому закону розподілу є відповідною функція розподілу
Fx(x)=P(x<x)=
