СОДЕРЖАНИЕ
Глава I. Научные основы теории вероятностей. 5
§1. История развития теории вероятностей. 5
§3. Вероятностное пространство. 7
§4. Операции над случайными событиями. 10
§5. Понятие вероятности события. 15
§6. Теоремы о вероятности суммы событий. 22
§7. Теорема умножения вероятностей. 25
§8. Формула полной вероятности. Теорема гипотез. 29
Глава II. Методические особенности изучения основ
Теории вероятностей в классах с углубленным изучением математике. 35
§1. Основные цели изучения теории вероятностей в классах с углубленным изучением математики. 35
§2. Анализ содержания темы "Элементы теории вероятностей" в школьных учебниках. 37
§4. Описание опытной работы.. 58
Список использованной литературы.. 63
Предмет теории вероятностей отличается большим своеобразием. Необычный характер теоретико-вероятностных понятий является причиной того, что долгое время подход к этим понятиям основывался только на интуитивных соображениях. Это и подрывало веру в правильность выводов теории вероятностей: многие ее положения носили расплывчатый характер и вызывали сомнения.
Теория вероятностей один из разделов, введенный в школьный курс, представляющий несомненную ценность для общего образования. Полезность получаемых знаний состоит как в том значении, которое имеют эти знания для понимания и познания закономерностей окружающего нас мира, так и возможности их непосредственного применения при изучении других наук и в повседневной жизненной практике.
Теория вероятностей – это такой раздел математики, который позволяет обучать учащихся логике на практике. В процессе освоения теоретических фактов решается задача развития у учащихся навыков проведения логических рассуждений, способностей абстрагировать т.е. выделять в конкретной ситуации сущность вопроса, отвлекаясь от несущественных деталей. Изучая теорию вероятностей, учащиеся овладевают умениями анализировать рассматриваемый вопрос, обобщать, находить пути решения поставленной задачи. Все это формирует мышление учащихся и способствует развитию их речи, особенно таких качеств выражения мысли, как порядок, ясность, обоснованность.
Изучение теории вероятностей требует от каждого ученика больших усилий и немалого времени. Полученные при этом навыки учебного труда позволяет выпускникам школы в их дальнейшем жизненном пути эффективно овладевать навыками выполнения других видов труда и с должным пониманием относится к тому, что хорошее выполнение любой работы требует значительных усилий и ответственности.
Изучение теории вероятностей способствует развитию у учащихся наблюдательности, внимания и сосредоточенности, инициативы и настойчивости. Все это имеет большое значение для формирования их характера.
Несмотря на то, что теория вероятностей является важным разделом школьной математики, учебной и математической литературы очень мало. Учебная литература резко разделяется на две категории: книги доступные лишь читателю с солидной математической подготовкой и книги, изучающие предмет на интуитивном уровне.
Анализ содержания учебно-методической литературы (журналов "Квант", "Математика в школе", газеты "Математика" приложения к газете "1сентября") показывает, что вопросами преподавания теории вероятностей уделяется в школе крайне недостаточно внимания.
Все выше сказанное приводит к проблеме разработки методики обучения теоретико-вероятностным вопросам в школе.
Выделенная проблема обусловила основную цель дипломной работы: разработать методические рекомендации по изучению элементов теории вероятностей в классах с углубленным изучением математики.
В качестве частных задач для достижения поставленной цели были приняты:
· Разработать научные основы теории вероятностей;
· Проанализировать математическую составляющую темы "Элементы теории вероятностей" в различных действующих учебных пособиях по математике для классов с углубленным изучением математики;
· Выделить основные цели и задачи изучения теории вероятностей в курсе школьной математики;
· Провести частичную апробацию разработанные дидактических материалов по изучению теоретико-вероятностных вопросов.
Основными методами решения задач являются:
· Изучение и анализ научной учебно-методической литературы, программ по математике для общеобразовательных учреждений;
· Наблюдение за деятельностью учащихся, ее анализ;
· Беседы с учащимися и педагогом;
· Проведение опытной работы
Теорию вероятностей можно описательно определить как математическую теорию случайных явлений.
В повседневной жизни мы часто пользуемся словами "вероятность", "шанс" и т.д. "К вечеру, вероятно, пойдет дождь", "вероятнее всего, мы на всю неделю поедем в деревню", "это совершенно невероятно!", "есть шанс, что успешно сдам экзамен" и т.д. - все эти выражения как-то оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие.
Вероятность математическая – числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторятся неограниченное число раз условиях.
Во второй половине XIX века вероятность вошла в физику в процессе разработки молекулярно-кинетической теории.
Понятие вероятности разрабатывается наукой уже в течении столетий, а многие ученые-исследователи указывают на его незавершенность и неясность. "Все говорят о вероятности, но никто не может сказать что это такое" [Биркгар, 1952]
С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей мы находим глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением частиц (молекул), встречаем рассуждения о равновозможных исходах (равновероятностных) и т.п. еще в древности делались попытки сбора и анализа некоторых статистических материалов – все это создавало почву для выработки новых научных понятий, в том числе и понятия вероятности. Но античная наука не дошла до выделения этого понятия.
В средневековье мы наблюдаем разрозненные попытки осмыслить встречающиеся вероятностные рассуждения.
В работах Л. Пачоли, Н. Тарталья и в первую очередь Д. Кардано уже делались попытки выделить новые понятия – отношения шансов – при решении ряда специфических задач, прежде всего комбинаторных.
К середине XVIIв. вероятностные вопросы и проблемы привлекли внимание ученых Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса. В этот период были выработаны первые понятия, такие как математическое ожидание и вероятность (в форме отношения шансов), установлены первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения.
Развитие теории вероятностей в начале XX века привело к необходимости пересмотра и уточнения ее логических основ. Возникла необходимость аксиоматизации теории вероятностей и ее основного понятия - вероятности.
Первые работы того периода связанны с именами С.Н. Берштейна, Мизеса, Э. Бореля. окончательное становление аксиоматики произошло в 30-е годы XX века. Это произошло благодаря А.Н. Космогорову. В этот период понятие вероятности проникает почти во все сферы человеческой деятельности, становясь одним из основных понятий современной науки.
События в материальном мире можно разбить на три категории –достоверные, невозможные и случайные. Например, если подбросить игральную кость, то достоверно, что число выпавших очков будет натуральным числом, невозможно, чтобы это число равнялось 7, и возможно, что оно будет равно 5, а при других будут выпадать другие значения очков: 1,2,3,4 или 6.
Определение 1. случайными событиями называется такой исход наблюдения или эксперимента, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти.
Примеры:
1. выпадение герба при бросании одной монеты.
2. выпадение четырех очков при бросании игральной кости – случайные события.
Определение 2. Случайное событие, которое обязательно наступит, называется достоверным событием и обозначается буквой щ.
Примеры:
3. выпадение герба или цифры при подбрасывании одной монеты;
4. выигрыш, проигрыш или ничья в матче двух футбольных команд – достоверные события.
Определение 3. Событие определяется невозможным, если оно не содержит никакого множества исходов и обозначается буквой __.
При любом исходе испытания это событие не происходит. Иными словами, невозможное событие состоит из пустого множества исходов.
Примеры:
5. выпадение более 6 очков при подбрасывании игрального кубика;
6. выпадение цифры и герба одновременно при подбрасывании одной монеты – невозможные события.
Представим, что некоторый прямоугольник Е мы разрезали (рис 1) на n прямоугольных пронумерованных карточек еi(i=1,2,3,... .,n). допустим, после хорошей перестановки одну карточку наугад вытаскиваем из всей стопки. При такой операции:
· одно из событий "вытащена одна карточка" непременно произойдет;