Лекции по Математике 3 (стр. 1 из 7)

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Лекция 1.

1.1 Общие понятия.

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее одну

или несколько независимых переменных, неизвестную функцию, зависящую от этих пере-менных и ее производные.

Определение 2. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, уравнение назы-

вается обыкновенным дифференциальным уравнением.

Определение 3. Если неизвестная функция зависит от двух или большего числа переменных,

уравнение называется уравнением с частными производными.

Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать следующим образом:

(1)

где

- заданная функция своих аргументов.

Определение 4. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей

производной, входящей в уравнение.

Пример 1.

1.

2.

Определение 5. Решением дифференциального уравнения

-ого порядка на промежутке

называется всякая функция , имеющая на данном промежутке производные до

-ого порядка включительно, и такая, что подстановка ее и ее производных в уравнение обра-

щает его в тождество по

на .

Пример 2. Решением уравнения

на всей числовой оси является функция .

Определение 6. График решения дифференциального уравнения называется интегральной

кривой. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегриро-

ванием дифференциального уравнения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение 1-ого порядка:

(2)

Если его можно разрешить относительно производной, то получится уравнение:

(3)

Оно называется разрешенным относительно производной. Если уравнение невозможно разре-

шить относительно

, то оно называется неразрешенным относительно производной.

Пример 3.

1.

Это уравнение можно разрешить относительно производной, получим:

;

2.

Данное уравнение невозможно разрешить относительно производной.

Дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Чтобы выделить

из этого множества решений какое-то конкретное решение, надо задать дополнительное усло-

вие:

(4)

оно называется начальным условием.

Так как часто в уравнениях независимой переменной является время

, поэтому условие (4)

означает, что искомая функция задается в начальный момент времени, отсюда название

начальное условие. Геометрически начальное условие означает, что задается точка

,

через которую должна проходить искомая интегральная кривая.

Определение 7. Задача нахождения решения уравнения (3), удовлетворяющего условию (4),

называется задачей Коши (или задачей с начальным условием).

1.2 Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Часто бывает трудно решить аналитически дифференциальное уравнение, поэтому большое

значение имеют приближенные методы решения дифференциальных уравнений, которые в

связи с быстрым развитием вычислительной техники приобретают еще большее значение.

Однако, чтобы применять тот или иной метод приближенного интегрирования дифференциаль-

ного уравнения, надо прежде всего быть уверенным в существовании искомого решения, а так-

же и в единственности решения, так как при отсутствии единственности остается неясным, ка-

кое именно решение требуется приближенно определить. Ответ на эти вопросы дает следую-

щая теорема.

Теорема 1(существования и единственности).

Пусть функция

в уравнении (3) определена в некоторой области на плоскости .

Если существует окрестность точки

, в которой функция :

1) непрерывна по совокупности аргументов;

2) имеет ограниченную частную производную

,

то найдется интервал

оси , на котором существует и единственно решение

уравнения (3), удовлетворяющее условию (4).

Эта теорема имеет локальный характер: она гарантирует существование единственного реше-

ния уравнения (3), удовлетворяющего условию (4) в достаточно малой окрестности т.

.

Геометрически теорема означает, что через т.

проходит только одна интегральная

кривая уравнения (3).

Пример 4. Рассмотрим уравнение

. Функция определена и непрерывна

на всей плоскости

, , следовательно, условие 2 теоремы 1 нарушается в

точках оси

. Решениями данного уравнения являются функции , где - констан-

та, и еще

. Если искать решение этого уравнения, удовлетворяющее условию , то

таких решений бесконечно много, например,

, , и т.д.

Значит через каждую точку оси

проходят по крайней мере две интегральные кривые, следо-

вательно, в точках оси

нарушается единственность.

Определение 8. Общим решением дифференциального уравнения (3) в некоторой области

существования и единственности решения задачи Коши называется однопараметрическое се-

мейство функций

, зависящих от одной независимой переменной и одной произ-

вольной постоянной

(называемой параметром), такое, что

1) при любом допустимом значение параметра функция этого семейства является решением

уравнения (3);

2) каково бы ни было начальное условие (4), можно подобрать такое значение параметра

, что решение будет удовлетворять данному условию.

При этом предполагается, что т.

принадлежит области существования и единственности

решения задачи Коши.

Определение 9. Частным решением уравнения (3) называется решение, получаемое из общего

при каком-либо конкретном значении параметра.

Определение 10. Уравнение

(5),