Для деяких неперервних підінтегральних функцій ї(х) не завжди можна знайти первісну, виражену через елементарні функції. У цих випадках обчислення визначеного інтеграла за формулою Ньютона — Лейбніца неможливе. В усіх цих випадках застосовують різноманітні методи наближеного інтегрування, які дають змогу використовувати сучасну обчислювальну техніку. Формули, що їх зараз подамо, базуються на тлумаченні визначеного інтеграла як площі криволінійної трапеції та наближеним його представленням інтегральною сумою:
Ідея такого методу геометричне базується на тому, що графік f(x) заміняється близькою до цього графіка лінією. В одному випадку (при виводі формули прямокутників) графік f(x)заміняється ступінчастою ламаною (рис. 63). В іншому випадку (при виводі формули трапецій) графік f(x) заміняється ламаною, вписаною в цей графік (рис. 64). При виводі формули Сімпсона ланки згадуваної ламаної заміняються дугами парабол другого степеня. Нижче використовується позначення yk=f(xk).
1. Складемо інтегральну суму, яка відповідає подрібненню [а, Ь] на п рівних частин і вибору точок ek = хk:
Звідси визначений інтеграл можна обчислювати за формулою
яку називають формулою прямокутників. Чим більше буде n, тимменшим буде крок
і права частина записаного наближення буде давати більш точне значення інтеграла.
2. Розіб'ємо проміжок [а, Ь] так, як і в попередньому випадку, і впишемо в криву АВ ламану (рис. 64). Внаслідок такої побудови дістанемо п трапецій, сума площ яких наближено дає значення інтеграла
останній вираз називають формулою трапецій.
3. Якщо відрізок інтегрування [а, Ь] поділити на парну кількість рівних частин (тобто 2n) і позначити yk=f(xk), де — точки поділу, k = 0, 1, 2, ... , 2n, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою
яку називають формулою Сімпсона.
Ця формула дає більш точне значення визначеного інтеграла тому, що для її доведення використовують метод парабол, за яким на кожному відрізку [xk-1, xk] три значення функції До:) входять до інтегральної суми.
На прикладі формули трапеції розглянемо питання про оцінку похибки від її застосування, оскільки без цього формула буде мати лише якісний характер.
Позначимо через а„ вираз, який стоїть у правій частині формули
трапеції. Тоді
— абсолютна похибка від застосування формули трапеції. Позначимо через М максимальне значення модуля другої похідної fn(x)над інтегральної функції у =f(х) на
У більш детальних курсах вищої математики доведено, що
Приклад 1. Обчислити інтеграл
точне значення якогодорівнює одиниці.
Згідно з формулами:
1) прямокутників при п = 3 дістанемо
2) трапецій при п = 3 одержимо
3) парабол при п = 2 маємо
Зауважимо, що всі три формули тим точніші, чим більше п, і їх абсолютна похибка при прямує до нуля відповідно до означення поняття визначеного інтеграла.