Метод конечных разностей или метод сеток (стр. 1 из 2)

Метод конечных разностей, или метод сеток

Рассмотрим линейную краевую задачу

(2.24)

(2.25)

,

где

,

,и

непрерывны на [a,b].

Разобьемотрезок [a, b]на nравных частей длины, или шага

.

Точки разбиения

,

называютсяузлами, а их совокупность – сеткой на отрезке [a,b]. Значения в узлах искомой функции

и ее производных

обозначим соответственно через

.

Введем обозначения

Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями:

(2.26)

Формулы (2.26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала[a,b].

Для граничных точек положим

. (2.27)

Используя формулы (2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при

, (i=1, 2,..., n–1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений

(2.28)

Кроме того, в силу формул(2.27) краевые условия (2.25) дополнительно дают еще два уравнения:

. (2.29)

Таким образом, получена линейная системаn+1уравнений сn+1неизвестными

, представляющими собой значения искомой функции

в узлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу(2.24), (2.25)обычно называется разностной схемой. Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной.

Преобразуем уравнения (2.28):

. (2.30)

Введя обозначения

получим

, (i=0, 1,..., n-2).(2.31)

Краевые условия по-прежнему запишем в виде

. (2.32)

Метод прогонки состоит в следующем.

Разрешим уравнение (2.31) относительно

:

. (2.33)

Предположим, что с помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий

. Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде

, (2.34)

где

и

должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0 из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что

Исключая из этих двух уравнений

, найдем

.

Выразим теперь отсюда

:

(2.35)

Но, согласно формуле (2.34),

(2.36)

Сравнивая теперь (2.35) и (2.36), найдем, что

(2.37)

Пусть теперьi >0, то есть i=1, 2,..., n–2. Выражая

по формуле (2.34), получим:

.

Подставляя это в формулу (2.33), будем иметь

.

Разрешая полученное уравнение относительно

, находим

, или

. (2.38)

Отсюда, сравнивая формулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов

и

рекуррентные формулы:

(2.39)

Так как

и

уже определены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можно последовательно определить коэффициенты

и

до

и

включительно. Эти вычисления называются прямым ходом метода прогонки.

Из формулы (2.33) при i=n–2 и второго краевого условия (2.32) получаем

Разрешая эту систему относительно

, будем иметь

. (2.40)

Теперь, используя (2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти

. Это − обратный ход метода прогонки.

Итак, получаем следующую цепочку:

(2.41)

Для простейших краевых условий

формулы для

и

упрощаются. Полагая в этом случае

из формул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь

Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. При этом возникает три вопроса.

1)Существует ли решение алгебраической системы типа (2.31)?

2)Как фактически находить это решение?

3)Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0?

Можно доказать, что если краевая задача имеет вид

причем р(x)>0, то решение системы (2.31), (2.32) существует и единственно. Фактическое отыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопрос дает ответследующая

Теорема

Если

и

дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой