Смекни!
smekni.com

Алгоритм решения Диофантовых уравнений (стр. 1 из 8)

Алгоритм решения Диофантовых уравнений

Нижнегородская область

Г.Заволжье

2009 г.


В работе рассмотрен метод исследования Диофантовых уравнений и представлены решенные этим методом:

- великая теорема Ферма;

- уравнение Пелля;

- уравнения эллиптических кривых У2=X3+K,

23-Х, У23-Х+1, У23+аХ+В);

- иррациональные корни уравнения Х22=1;

- поиск Пифагоровых троек;

- уравнение Каталана;

- уравнение гипотезы Билля


Решение Диофантовых уравнений

Лирическое отступление (ЛО) – 1

Всё началось с теоремы Ферма.

В клубе фермистов оказался случайно, решал совершенно другую задачу, и неожиданно пришла идея ВТФ. Я даже не помнил её классическое написание – хnnn, формулу ВТФ написал в виде хn= уn+ сn, а потом не стал переучиваться, т.к. привык к своему написанию формулы.

ЛО – 2. При доказательстве ссылаюсь на закон распределения простых чисел. Можно было бы обойтись без упоминания оного. Просто сохранил историческую правду, т.к. лично для меня этот закон стал подсказкой.

ЛО – 3. Этот же подход был применён для решения уравнения гипотезы Биля и решения других уравнений. Выводы получились интересными.

Для себя обкатал этот метод на нескольких шуточных уравнениях. При профессиональном подходе, похоже, этот метод может дать как качественные выводы, так и количественные, окончательный же приговор этому методу будет сделан совместными усилиями.


Великая теорема Ферма. Решение

– не имеет решений в целых числах при показателе степени n>2.

Для доказательства данного утверждения было рассмотрено аналогичное функциональное уравнение. Чтобы получить функциональное уравнение надо обратиться к закону распределения простых чисел в ряду натуральных чисел. В таблице изображена матрица распределения составных чисел в ряду натуральных чисел.


4
+2
6
+2
8
+2
10
+2
12
+2
14
+2
16
+2
18
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
6
+3
9
+3
12
+3
15
+3
18
+3
21
+3
24
+3
27
8

+4

12 16 20 24 28 32 36

+2
10
+5
15 20 25 30 35 40 45
12 +6 18 24 30 36 42 48 54

+2
14
+7
21 28 35 42 49 56 63

+2
16
+8
24 32 40 48 56 64 72

+2
18
+9
27 36 45 54 63 72 81

Формула любого составного числа, соответствующего этой матрице, имеет вид - (

i + 1) (
j + 1), где
i- номер столбца этой матрицы,

j – соответственно, номер строки этой матрицы. Для верхней строки (
= 1) формула составного числа примет вид – 2(
i + 1) – это ряд чётных чисел.

Всё это пока заготовка для доказательствавеликой теоремы Ферма (ВТФ).

Нечётные числа примут вид 2(

i + 1) ± 1. В нашем случае пусть нечётные числа будут - 2(
i + 1) - 1.

Чтобы доказать ВТФ надо рассмотреть три варианта:

- IX - чётное число, У - чётное число, Z - чётное число;

- IIX - чётное число, У - нечётное число, Z - нечётное число;

- IIIX - нечётное число, У - чётное число, Z - нечётное число.

Вариант I. Пусть уравнение ВТФ верно для чётных чисел.

В формулу ВТФ вставим аналитические выражения чётных чисел.

[2(

1 + 1)]n = [2(
2 + 1)]n + [2(
3 + 1)]n ,

где для определённости возьмём

1 >
2 >
3

После упрощения.

(

1 + 1)n = (
2 + 1)n + (
3 + 1)n

По сути, природа этого уравнения та же, что и уравнения ВТФ, т.к. зависимость между Х, У, Z и столбцами матрицы

i – функции соответствующие линейным уравнениям.

Можно составить систему подобных уравнений.

………………………………………… (а)

Каждое уравнение этой системы также является функциональным уравнением ВТФ.