Теорія ймовірності та її застосування в економіці (стр. 1 из 3)
Контрольна робота
З дисципліни: Теорія ймовірностей та математична статистика
Прізвище,ім’я, по-батькові студента
Данiщук Мирослава Евгенiївна
Прізвище та ініціали викладача
Степахно Ірина Василівна
Київ 2009 рік
Зміст
Список використаної літератури
Завдання 1
В ящику 50 куль: 36 жовтих і 14 синіх. З ящика навмання виймають одну кулю. Визначити ймовірність того, що ця куля:
а) жовта; б) синя.
Розв’язання:
Ймовірність того, що з ящика наймання виймають жовту кулю становить відношення кількості жовтих кульок до загального числа кульок:
а) Рч = 36/50 = 0,72
Ймовірність того, що з ящика наймання виймають синю кулю становить відношення кількості синіх кульок до загального числа кульок:
б) Рс = 14/50 = 0,28.
Відповідь: а) 0,72; б) 0,28.
Завдання 2
Імовірність несплати податку для кожного з n підприємців становить p. Визначити ймовірність того, що не сплатять податки не менше m1 і не більше m2 підприємців.
n=300; p=0,05; m1=25; m2=60
n=500; p=0,05; m1=10; m2=250
Розв’язання:
Якщо випадкова величина попадає в інтервал
.Позначимо шукану імовірність Рn (m).
Ми доведемо що має місце наступна формула Бернуллі:
Позначимо через Вm складна подія, що полягає в тому, що в n досвідах подія А відбулося точно m раз. Запис
буде означати, що в першому досвіді подія А відбулося, у другі і третьому - не відбулися і т.п. Тому що досвіди проводяться при незмінних умовах, те 
Подія Вmможна представити у виді суми всіляких подій зазначеного виду, причому в кожнім доданку буква А без риси зустрічається точно m раз. Доданки в цій сумі несумісні й імовірність кожного доданка дорівнює
Щоб підрахувати кількість доданків, помітимо, що їх стільки, скільки є способів для вибору m місць для букви А без риси. Але m місць з n для букви А можна вибрати 
способами. Отже, 
Завдання 3
Задано ряд розподілу добового попиту на певний продукт Х. Знайти числові характеристики цієї дискретної випадкової величини:
А) математичне сподівання М (Х);
Б) дисперсію D (X);
В) середнє квадратичне відхилення σ Х.
| Х | 1 | 3 | 5 | 7 | 11 |
| p | 0,10 | 0,15 | 0,42 | 0,25 | 0,08 |
Розв’язання.
а) Математичне сподівання величини визначається як:
Запишемо результати в таблиці.
| Х | 1 | 3 | 5 | 7 | 11 |
| P | 0,10 | 0,15 | 0,42 | 0,25 | 0,08 |
| Х*Р | 0,10 | 0,45 | 2,10 | 1,75 | 0,88 |
б) Дисперсія визначається як:
| Х | 1 | 3 | 5 | 7 | 11 |
| Р (Х) | 0,10 | 0,15 | 0,42 | 0,25 | 0,08 |
| Х - М (Х) | -4,28 | -2,28 | -0,28 | 1,72 | 5,72 |
| (Х - М (Х)) 2 | 18,32 | 5, 20 | 0,08 | 2,96 | 32,72 |
| P (Х) * (Х - М (Х)) 2 | 1,83 | 0,78 | 0,03 | 0,74 | 2,62 |
Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.
D (Х) =6,00.
в) середнє квадратичне відхилення δхзнаходиться як корінь квадратний з дисперсії.
Завдання 4
Знаючи, що випадкова величина Х підпорядковується біноміальному закону розподілу з параметрами n, p, записати ряд розподілу цієї величини і знайти основні числові характеристики:
А) математичне сподівання М (Х);
Б) дисперсію D (X);
В) середнє квадратичне відхилення σ Х. n=3; p=0,5
Розв’язання.
Біноміальний закон розподілу описується наступним виразом:
Підставивши значення параметрів, отримаємо:
Запишемо ряд розподілу цієї величини:
Таблиця 1
| m | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Pn (m) |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
Таблиця 2
| Х | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Pn (Х) | 1.29E-01 | 9.68E-03 | 4.84E-04 | 1.82E-05 | 5.45E-07 | 1.36E-08 | 2.92E-10 | 5.47E-12 | 9.12E-14 | 1.37E-15 |
Рис.1. Графік біноміального розподілу
а) Математичне сподівання величини визначається як:
Запишемо результати в таблиці 3.
Таблиця 3
| Х | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Pn (Х) | 1.29E-01 | 9.68E-03 | 4.84E-04 | 1.82E-05 | 5.45E-07 | 1.36E-08 | 2.92E-10 | 5.47E-12 | 9.12E-14 | 1.37E-15 |
| ХP (Х) | 1.29E-01 | 1.94E-02 | 1.45E-03 | 7.26E-05 | 2.72E-06 | 8.17E-08 | 2.04E-09 | 4.38E-11 | 8.21E-13 | 1.37E-14 |
б) Дисперсія визначається як:
Таблиця 4
| Х | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Сума |
| Х-M (Х) | 0.850 | 1.850 | 2.850 | 3.850 | 4.850 | 5.850 | 6.850 | 7.850 | 8.850 | 9.850 | 53.500 |
| (Х-M (Х)) 2 | 0.723 | 3.423 | 8.123 | 14.823 | 23.523 | 34.223 | 46.923 | 61.623 | 78.323 | 97.023 | 368.725 |
| Pn (Х) | 0.129 | 0.010 | 4.84E-04 | 1.82E-05 | 5.45E-07 | 1.36E-08 | 2.92E-10 | 5.47E-12 | 9.12E-14 | 1.37E-15 | 0.139 |
| (Х-M (Х)) 2P (m) | 0.093 | 0.033 | 3.93E-03 | 2.69E-04 | 1.28E-05 | 4.66E-07 | 1.37E-08 | 3.37E-10 | 7.14E-12 | 1.33E-13 | 0.131 |
Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.
D (Х) =0,131.
в) середнє квадратичне відхилення δхзнаходиться як корінь квадратний з дисперсії.
Завдання 5
Побудувати графік функції щільності розподілу неперервної випадкової величини Х, яка має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням М (Х) =а і проходить через задані точки.
a=5
| x | 1 | 2 | 4 | 5 |
| f (x) | 0,033 | 0,081 | 0,081 | 0,033 |
a=2
| x | 0,5 | 1 | 3 | 3,5 |
| f (x) | 0,13 | 0,24 | 0,24 | 0,13 |
Розв’язання.
а) М (Х) =5.
Нормальний закон розподілу описується формулою:
Знайдемо середньоквадратичне відхилення.
Дисперсія визначається як:
,де М (Х) - математичне сподівання.
Математичне сподівання обчислюється за формулою:
