Содержание
Введение...........................................................................................................................4
Глава 1. Теоретическая часть........................................................................................8
1.1. Историческая справка..............................................................................................8
1.2. Предмет комбинаторики........................................................................................12
1.3. Основные понятия и теоремы комбинаторики.....................................................12
1.3.1. Основные правила комбинаторики..............................................................13
1.3.2. Размещения с повторениями.........................................................................13
1.3.3. Размещения без повторений..........................................................................15
1.3.4. Перестановки без повторений........................................................................16
1.3.5. Перестановки с повторениями.....................................................................17
1.3.6. Сочетания без повторений...........................................................................17
1.3.7. Сочетания с повторениями..........................................................................19
1.3.8. Свойства чисел сочетаний..........................................................................20
1.4.1. Главная теорема комбинаторики (Теорема о включениях и исключениях)..........................................................................................................21
1.4.2. Частный случай теоремы о включениях и исключениях...........................23
1.4.3. Комбинаторные задачи с ограничениями.....................................................24
1.4.4. Задачи о смещениях (о беспорядках).......................................................25
1.4.5. Задача о караване.......................................................................................25
1.4.6.Комбинаторика разбиений.............................................................................26
1.4.7. Количество делителей числа N..................................................................27
1.4.8. Раскладка предметов в несколько ящиков....................................................30
1.4.9. Задача: Флаги на мачтах..................................................................................31
1.4.10. Задача: Покупка билетов.............................................................................31
1.4.11. Рекуррентные соотношения в комбинаторике........................................32
1.5. Связь комбинаторики с другими разделами математики....................................34
1.5.1. Теория групп.......................................................................................................34
1.5.2. Теория вероятностей.....................................................................................35
1.5.3. Криптография..................................................................................................37
1.5.4. Экономика.........................................................................................................38
1.5.5. Теория информации...........................................................................................39
1.5.6. Теория графов.................................................................................................40
Глава 2. Методические разработки для элективного курса...................41
2.1. Анализ изложения темы в школьных учебниках............................41
2.2. Тематическое планирование..........................................................51
2.2.1. Введение.......................................................................................................51
2.2.2. Содержание программы спецкурса...........................................................55
2.2.3. Поурочное планирование...........................................................................56
2.3. Разработки занятий........................................................................58
2.4. Электронный учебник....................................................................93
Заключение..........................................................................................96
Список использованной литературы.....................................................97
Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов называется комбинаторикой.
Комбинаторика возникла в XVI веке. Вопросы, касающиеся азартных игр, явились движущей силой в ее развитии. Комбинаторика является разделом дискретной математики, ориентированным на решение задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами и ограничениями. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой комбинаторной конфигурации, поэтому комбинаторный анализ (комбинаторика) занимается изучением свойств комбинаторных конфигураций, условиями их существования, алгоритмами построения и оптимизацией этих алгоритмов.
Этот раздел математики тесно связан с рядом других разделов дискретной математики: теорией вероятностей, теорией графов, теорией чисел, теорией групп и т. д.
Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования.
Сейчас комбинаторные методы применяются как в самой математике, так и вне её – теория кодирования, планирование эксперимента, топология, конечная алгебра, математическая логика, теория игр, кристаллография, биология, статистическая физика, экономика и т.д.
В школьном курсе комбинаторика преподается в совокупности с теорией вероятностей и статистикой. В течение последних десятилетий элементы теории вероятностей и комбинаторики то вводились разделом в курс математики общеобразовательной школы, то исключались вообще. Внимание, которое уделяется этому учебному предмету во всем мире, позволяет предположить, что концепция его введения является актуальной.
В настоящее время никто не подвергает сомнению необходимость включения вероятностно-статистической линии в школьный курс математики. О необходимости изучения в школе элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. Ведь именно изучение и осмысление комбинаторики, теории вероятностей и статистических проблем особенно нужно в нашем перенасыщенном информацией мире.
Но внедрение вероятностно-статистической линии в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями, в первую очередь, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие единой методики и школьных учебников.
Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. И с этой точки зрения, когда речь идет не только об обучении математике, но и формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления становится насущной задачей. Причем речь сегодня идет об изучении вероятностно-статистического материала в обязательном основном школьном курсе «математике для всех» в рамках самостоятельной содержательно-методической линии на протяжении всех лет обучения.
Согласно данным ученых-физиологов и психологов в среднем звене школы заметно падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. На уроке математики в основной школе, в пятых-девятых классах, проводимых по привычной схеме и на традиционном материале, у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми объектами и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности.
Знакомство школьников с очень своеобразной областью математики, где между однозначными «да» и «нет» существует еще и «быть может» (причем это «может быть» поддается строгой количественной оценке), способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью. Учащиеся видят непосредственную связь математики с окружающей действительностью, реальной жизнью.
В большинстве учебников комбинаторные формулы рассматривается лишь как средство для подсчета вероятности, это сказывается на содержании этого материала в учебниках, и места его изучения. Но комбинаторика ставит и другие цели: в первую очередь – это развитие мышления, и использование комбинаторных знаний для решения задач прикладного характера.
Цель дипломной работы: на основе изучения школьной литературы и имеющегося материала, разработать элективный курс по «Основам комбинаторики и теории вероятностей» для старших классов физико-математического профиля.
Исходя из этого можно выделить следующие задачи, реализация которых позволяет достичь поставленную цель:
· Необходимо определить содержание материала по каждому из направлений: комбинаторика, статистика, теория вероятностей.
· Проанализировать связи между этими направлениями и определить последовательность или параллельность их изучения.
· Определить содержание каждых из названных разделов.
Для реализации данных задач используются следующие средства:
· Изучение школьных учебников и методической литературы по данной теме.
· Изучение стандартов образования по данной теме.
· Анализ школьной литературы.
Дипломная работа состоит из двух частей, это как теоретическая часть, так и
методические разработки элективного курса.
В теоретической части рассматриваются такие основные элементы классической комбинаторики как, размещения, перестановки и сочетания, а так же рассматриваются некоторые классы наиболее часто встречающихся задач: комбинаторные задачи с ограничениями, комбинаторные задачи раскладок и разбиений, комбинаторные задачи, решаемые с помощью рекуррентных соотношений.
Во второй главе представлен анализ изложения данной темы в школьных учебниках и дополнительной школьной литературе, а так же поурочное планирование на два полугодия для 10 – 11 класса физико-математического профиля (32 часов) с разработанными конспектами к теме данного диплома – «Комбинаторика».
Глава 1. Теоретическая часть
1.1. Историческая справка
Разрозненные комбинаторные задачи человечество решало с незапамятных времён. К концу XVI века накопились знания, относящиеся к: