Исследование математических моделей оптимизации обслуживания сложных систем (стр. 1 из 5)

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

ОПТИМИЗАЦИИ ОБСЛУЖИВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Реферат

Особый круг задач в теории обслуживания сложных систем составляют задачи, в которых предполагается наличие неполной информации о надежности систем. Эти задачи чаше всего встречаются на практике, особенно на начальном периоде эксплуатации систем. Их специфика потребовала разработки специальных прикладных математических методов исследования, близких к теории игр и основанных на минимаксных подходах. Эти методы позволяют проследить за количественным улучшением показателей обслуживания по мере уменьшения степени неполноты используемой информации о надежности системы. В данной учебно-исследовательской работе рассматривается нахождение времени плановой предупредительной профилактики и оптимальных значений характеристик на примере чётырёх стратегий обслуживания систем.

Содержание

1 Введение………………………………………………..…….…….4

2 Основная часть……………………………......................................5

Математическая модель………………………....…..…………..5

Стратегия A………….………………………….......................…6

2.2 Стратегия В……………………...……………………………......…10

2.3 Стратегия С…………………………………………...……..…...….17

2.3 Стратегия D…………………………………...……………..…...….26

3 Заключение………………………………………………………..…34

4 Список использованных источников………………..………..…35

Приложения А……………………..……….....………………………....36

Приложения Б …………………..….……................................................42

Приложения В ……………......................................................................46

Введение

В практике эксплуатации технических систем часто возникают ситуации, при которых невозможно собрать достаточно статистических данных об их отказах, неисправностях или предпосылках к появлению отказов или неисправностей. Это, например, имеет место, если эксплуатируется новая система, или в тех случаях, когда существующими методами контроля и диагностики не удается обнаружить возникновение некоторых неисправностей или предпосылок к неисправностям или отказам. Возникает задача такой организации проверок, при которой с заданной уверенностью (вероятностью обнаружения отказа при проверке, если он возник до начала ее проведения) будут обнаружены возникшие в системе отказы, а время пребывания системы в состоянии отказа (неисправности, предпосылки к неисправности или отказу) в среднем наименьшее. При этом естественно предположить, что такие модели проверок разные в зависимости от имеющейся информации о надежности системы и тем лучше (в смысле получения выигрыша по критерию стоимости или готовности, причем готовность характеризуется средним временем пребывания системы в состоянии отказа), чем большая информация имеется о надежности системы.

На практике при большом числе однотипных систем, находящихся в эксплуатации, организация проверок каждой из них в расчетное оптимальное время при ограничениях на средства контроля и количество обслуживающего персонала, что часто имеет место, встречает большие трудности. Поэтому необходимо, с одной стороны, автоматизировать процесс выдачи рекомендаций о проведении проверок, а с другой — организовать процедуру проверок так, чтобы проверки проводились в расчетное время с наименьшими потерями, связанными с простоями персонала и средств обслуживания, перемещениями средств обслуживания или их коммутацией и т.д.

2 Основная часть

2.1 Математическая модель

B создании технических систем возникает проблема разработки некоторой стратегии технического обслуживания, которая позволила бы получить от эксплуатации системы максимально возможный эффект. Поэтому задачи профилактики ставятся как задачи экстремальные и их можно назвать оптимальными задачами, надежности. Обычно при постановке задачи профилактики предполагают заданными характеристики надежности системы: функцию распределения времени безотказной работы системы F(x) или отдельных ее частей и функцию распределения времени самостоятельного проявления отказа Ф(х) и характеристики ремонтопригодности: функции распределения времен различных восстановительных работ, которые можно проводить в системе. Эти характеристики, а также правило (стратегия), в соответствии с которым назначаются сроки проведения восстановительных работ, определяют состояния системы и эволюцию этих состояний во времени.

Будем считать, что множество Е возможных состояний системы является конечным Е = {E₁,E₂,…,E_n}. В таком случае траектории процесса x(t), описывающего эволюцию состояний системы во времени, являются ступенчатыми функциями. На траекториях этого случайного процесса определим функционал, который при фиксированных характеристиках надежности будет характеризовать стратегию обслуживания исследуемой системы. За конечный отрезок времени [0,t] траектория процесса x(t) задается количеством переходов т, моментами переходов t₀ = 0<t₁<t₂<…<t_m≤t и набором состояний Е = {E₁,E₂,…,E_n} в которых процесс находится между моментами перехода.

Обычно при постановке задачи выбора оптимальной стратегии обслуживания технической системы предполагают, что полностью известны ее характеристики. Однако функция распределения времени безотказной работы F(y), как правило, определяется статистически и известна лишь в отдельных точках. Поэтому при постановке задачи более естественным является предположение о том, что функция F(y) принадлежит классу Ω(n,y,р) функций распределения, которые в заданных точках y = (y₀=0,y₁,y₂,…,y_n) принимают заданные значения р = (р₀=0, р₁, р₂,…, р_n).

Рассмотрим 2 метода определения оптимальных характеристик стратегий обслуживания сложных систем: расчёт характеристик с помощью, заранее известной функции распределения времени безотказной работы системы F(y); расчёт с помощью статистических данных, полученных в результате работы системы в течение некоторого времени.

2.2 Стратегия A.

Стратегия А - полное восстановление системы проводится только после самостоятельного проявления отказа.

Система, новая в момент t =0, работает до отказа в течение времени о, распределенного но закону F(x). Далее от момента t=о до момента проявления отказа t = о+Ј , в течение случайного времени Ј, распределенного по закону Ф(х), простаивает в неработоспособном состоянии (скрытый отказ). В случайный момент проявления отказа начинается внеплановый аварийно-профилактический ремонт, который длится случайное время y(M_y=T_ап) и после которого система полностью обновляется. После окончания ремонта весь процесс функционирования системы и ее обслуживания повторяется.

Постановка задачи. Определим случайный процесс x(t), характеризующий состояние исследуемой системы. Пусть z ≥ 0, тогда

· E₀, если в момент t система работоспособна и до отказа проработает время, большее или равное z;

· E₁, если в момент t система работоспособна и до отказа проработает время, меньшее z;

· E₂, если в момент t в системе имеется скрытый отказ;

· E₃, если в момент t система ремонтируется (внеплановый аварийно-профилактический ремонт).

Рисунок 1 – Диаграмма переходов процесса x(t) (Стратегия А)

Расчёт по статистическим данным :

Исходные данные для расчета :

· вектор y = (y₀=0,y₁,y₂,…,y_n) и вектор р = (р₀=0, р₁, р₂,…, р_n);

· средняя длительность плановой предупредительной профилактики Т_pp;

· средняя длительность внепланового аварийно-профилактического ремонта Т_ap;

· потери за единицу времени при проведении плановой предупредительной профилактики С_pp ;

· потери за единицу времени при проведении внепланового аварийно-профилактического ремонта С_ap;

· прибыль C0 , получаемая за единицу времени безотказной работы системы;

· оперативное время Z работы системы, необходимое для выполнения задачи.

· Коэффициент готовности.

(1.1)

· Вероятность выполнения задачи.

(1.2)

· Средние удельные потери.

(1.3)

· Средняя удельная прибыль.

(1.4)

Расчёт по функции распределения времени безотказной работы системы :

· Функция распределения времени безотказной работы системы F(t);

· средняя длительность плановой предупредительной профилактики Т_pp;

· средняя длительность внепланового аварийно-профилактического ремонта Т_ap;

· потери за единицу времени при проведении плановой предупредительной профилактики С_pp ;

· потери за единицу времени при проведении внепланового аварийно-профилактического ремонта С_ap;

· прибыль C0 , получаемая за единицу времени безотказной работы системы;

· оперативное время Z работы системы, необходимое для выполнения задачи.

· Коэффициент готовности :

(1.5)

· Средние удельные затраты :

(1.6)

· Средняя удельная прибыль :

(1.7)

· Вероятность выполнения задачи :

(1.8)

Результаты вычислений представлены в таблицах 1.1 и 1.2.