Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания (стр. 1 из 10)

Понятие «экономичных схем» относится к числу важнейших при решении многомерных краевых задач. Первые экономичные схемы были предложены и обоснованы в 1955-1956 годах одновременно Писменом Рэкфордом и Дугласом. С тех пор появились много хороших экономичных методов решения многомерных краевых задач. В большинстве случаев эти схемы были схемами в дробных шагах. В теории экономичных схем сложную задачу редуцируют к системе более простых задач, последовательное решение которых приводит в итоге к приближенному или точному решению исходной задачи.

Актуальность работы: разработка экономичных методов расщепления.

Объектом исследования выбраны разностные схемы, аппроксимирующие исходные задачи.

Целью данной работы является – численное исследование разностных схем расщепления для первой краевой задачи двумерного уравнения колебания.

Основной задачей выпускной работы является:

- рассмотреть методы расщепления для двумерного уравнения колебания;

В выпускной работе четыре параграфа. В первом параграфе дана теоретическая часть, в котором отражены основные понятия из теории разностных схем.

Второй параграф выпускной работы посвящен основным понятиям и истории вопроса экономичных разностных схем.

Третий и четвертый параграф содержит материалы собственных исследований по методам расщепления для двумерного уравнения колебания.

Выпускная работа состоит из введения, четырех параграфов (разностных методов решения задач для дифференциальных уравнений, основных понятий и истории вопроса элементарных разностных схем, схемы расщепления с последовательным переходом, схемы расщепления с параллельным переходом), заключения и списка использованной литературы.

§1. Разностные методы решения задач

для дифференциальных уравнений

(основные понятия теории разностных схем)

Теория разностных схем является самостоятельным разделом вычислительной математики, где изучаются методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем замены их конечно-разностными уравнениями (разностными схемами).

Пусть имеем дифференциальную задачу, записанную в символической форме:

Lu(x)=f(x), (1.1)

где х

G, f - заданная функция, L - линейный дифференциальный оператор. Предполагается, что дополнительные условия дифференциального уравнения (граничные и начальные) учтены оператором L и правой частью f.

Рассмотрим примеры. Пусть имеем дифференциальную задачу

которую запишем в виде (1.1):

Задача

запишется в виде (1.1), если положить

Для записи в виде (1.1) задачи

с краевыми условиями на обеих концах отрезка

надо положить:

Конечно-разностный метод (метод сеток) - один из мощных достаточно универсальных методов современной вычислительной математики. Этот метод относится к классу машинных методов решения широкого круга задач для дифференциальных уравнений [4].

1.1. Сеточная область

Для построения разностной схемы необходимо построить сетку G_h -конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределения которых характеризуется параметрами h - шагом сетки. Пусть область изменения аргумента х есть отрезок

. Разобьем этототрезок точками

на n равных частей длины

каждая. Множество точек

называется равномернойсеткой на отрезке

и обозначим

, а число h -расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Разбиение отрезка

точками

можно производить произвольным образом -

. Тогда получаем сетку

с шагами

, которое зависит от номера узла сетки. Если

хотя бы в одной точке, то сетка называется неравномерной и такую сетку обозначают

. Точки х₀ и х_nназовем граничными узлами и обозначим их

. Остальные узлы назовем внутренними и обозначим их w_h. Узлы соседние с граничащими назовем приграничными. Тогда имеем

[4].

1.2. Сеточная функция. Пространство сеточных

функций. Нормы сеточных функций

Функция y=y(x_i) дискретного аргумента х_i называется сеточной функцией, определенной на сетке

. Сеточные функции можнорассматривать как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки, т.е.

. Далее мы будем писать

Сеточная область w_h зависит от параметра h. При различных значениях параметра h имеем различные сеточные области. Поэтому и сеточные функции y_h(x) зависят от параметра h.

Функции u(х) непрерывного аргумента являются элементами функционального пространства H. Множество сеточных функций y_h(x) образует пространство H_h. Таким образом, в методе сеток пространство Н, заменяется пространством H_h сеточных функций y_h(x).

Так как рассматривается множество сеток {w_h}, то мы получаем множество {H_h}пространств сеточных функций, определенных на {w_h}.

Пусть u(х) - решение исходной непрерывной задачи (1.1), u

H; y_h -решение разностной задачи. y_h

H_h. Для теории приближенных вычислений представляет большой интерес оценка близости u(х) и y_h(x), но u(х) и y_h(х) являются элементами из различных пространств. Пространство Н отображается на пространство H_h. Каждой функции u(х)

Н ставится в соответствие сеточная функция y_h(x), х

w_h, так что y_h=P_hu

Н_h, где P_h - линейный оператор из Н в H_h. Это соответствиеможно осуществить различными способами, т.е. зависит от выбора оператора P_h. Теперь, имея сеточную функцию u_h, образуем разность y_h-u_h, которая является вектором пространства H_hБлизость y_h и u_h, характеризуется числом

, где

- норма на H_h.