Основы математики (стр. 1 из 2)
Задание № 1
В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд два ряда шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение:
Всего возможно
. (это общее количество возможных элементарных исходов испытания). Интересующая нас событие заключается в том, что данная выборка содержит 2 белых шара, подсчитаем число благоприятствующих этому событию вариантов: 
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
По формуле полной вероятности имеем:
Задание № 2
Имеется 2 урны: в первой 3 белых и 4 черных шара, во второй 5 белых и 7 черных. Из наудачу выбранной урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
Решение:
Пусть событие А сводится к тому, что шар достали (из одной из урн). Предположим, что:
1) Н1 = шар достали из урны первой
2) Н2 = шар достали из урны второй
Вероятность того, что шар достали из первой урны Р (Н1) = 1/3, а вероятность того, что шар достали из второй урны Р (Н1) = 1/5. Согласно условию задачи в случае Н1 шар достанут с вероятностью: Р (А/Н1) = 3/7, а в случае Н2 – с вероятностью Р (А/Н2) = 5/12. По формуле полной вероятности имеем:
Р (А) = Р (Н1) * Р (А/Н1) + Р (Н2) * Р (А/Н2),
Задание № 3
Дана вероятность p появления события А в серии из n независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
| р | n | к | к1 | к2 |
| 0,3 | 6 | 3 | 1 | 3 |
а) равно к раз;
б) не менее к раз;
в) не менее к1 раз и не более к2 раз.
Решение:
В нашем случае р = 0,3, тогда g = 1 – 0,3 = 0,7, n = 6 и к = 3, отсюда вероятность появления события в серии из 6 независимых испытаний:
а) n = 6, к = 3, р = 0,3, тогда g = 0,7. По формуле Бернуле имеем:
= 
б) вероятность появления события а не менее 3 раз из независимых испытаний предположим, что событие должно повторяться более 3 раз: Рn (к1;n) = Ф (в) – Ф (а),
Р6 (1; 6) = Ф (3,74) – (+Ф (-0,71)) = 0,6233 + 0,2528 = 0,8761
Так как рассматриваемое событие появляется не менее 3 раз, имеем:
1 – Рn (К1; n) = = 1 - 0,8761 = 0,1449
в) вероятность того, что событие появится в серии из 6 независимых испытаний не менее 1 раза и не более 3 раз можно найти по Формуле Лапласа:
Рn (к1; к2) = Ф (в) – Ф (а),
Р6 (1; 3) = Ф (1,07) – (+Ф (-0,71)) = 0,3103 + 0,2528 = 0,5631
Задание № 4
| х | -2 | -1 | 0 | 3 |
| р | 0,2 | 0,5 | 0,1 | 0,2 |
Таблицей задан закон распределения дискретной случайной, величины Х. Найти математическое ожидание М (х), D(х) и среднее квадратическое отклонение σ (х). Закон распределения.
Решение:
М (х) = -2 * 0.2 + (-1) * 0,5 + 0 * 0,1 + 3 * 0,2 = -0,4 – 0,5 + 0 + 0,6 = 0,5
D (х) = М (х2) – (М (х))2 , найдем х2;
| х | -2 | -1 | 0 | 3 |
| р | 0,2 | 0,5 | 0,1 | 0,2 |
М (х2) = 4 * 0,2 + 1 * 0,5 + 0 * 0,1 + 9 * 0,2 = 0,8 + 0,5 + 0 + 1,8 = 3,1, тогда D (х) = = 3,1 + (0,5)2 = 3,1 – 0,25 = 2,85.
Среднее квадратическое отклонение:
Задание № 5
Дана интегральная функция распределения случайная величина Х. Найти дифференциальную функцию распределения, математическое ожидание М (х), дисперсия D (х) и среднее квадратическое отклонение σ (х).
Решение:
Среднее квадратическое отклонение равно:
Задание № 6
| а | σ | α | β | Δ |
| 11 | 3 | 14 | 15 | 1 |
Диаметры деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение диаметра равно d мм, среднее квадратическое отклонение σ мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше, α мм и меньше β мм; вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ мм.
Решение:
Пусть х – длина детали. Если случайная величина х распределена по нормальному закону, то вероятность ее попадания на отрезок [а; в].
=
Вероятность отклонения длины детали от ее математического ожидания а не больше, чем на d = 1 мм, очевидно, что есть вероятность того, что длина детали попадает в интервал [а - d; а + d] и потому вычисляется также с помощью функции Лапласа:
Задание № 7
Признак Х представлен дискретным выборочным распределением в виде таблицы выборочных значений (таблица 1). Требуется:
‾ составить интервальное распределение выборки;
‾ построить гистограмму относительных частот;
‾ перейти от составленного интервального распределения к точечному выборочному распределению, взяв за значение признака середины частичных интервалов;
‾ построить полигон относительных частот;
‾ найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
‾ вычислить все точечные статистические оценки числовых характеристик признака: среднее х; выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию; выборочное среднее квадратическое отклонение и исправленное среднее квадратическое отклонение S;
‾ считая первый столбец таблицы 1 выборкой значений признака X, а второй столбец выборкой значений Y, оценить тесноту линейной корреляционной зависимости между признаками и составить выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.
Таблица 1 Таблица выборочных значений
| 66,7 | 70,5 | 57,5 | 58,5 | 74,7 | 75,8 | 99,9 | 58,5 | 93,0 | 74,8 |
| 26,7 | 37,5 | 61,5 | 38,0 | 62,5 | 60,5 | 59,0 | 71,5 | 65,5 | 65,2 |
| 91,5 | 79,5 | 31,8 | 71,5 | 63,0 | 69,5 | 79,3 | 95,0 | 83,5 | 51,0 |
| 66,4 | 65,3 | 66,2 | 85,5 | 46,5 | 48,5 | 36,9 | 68,5 | 86,9 | 73,7 |
| 40,3 | 66,5 | 87,7 | 39,5 | 64,3 | 63,9 | 67,3 | 94,8 | 43,5 | 73,1 |
| 67,8 | 75,1 | 44,9 | 58,9 | 70,9 | 68,2 | 65,3 | 65,9 | 74,0 | 63,9 |
| 50,0 | 66,5 | 43,5 | 56,2 | 74,0 | 64,3 | 34,9 | 52,1 | 44,9 | 54,1 |
| 66,0 | 43,2 | 70,5 | 85,1 | 45,8 | 79,2 | 47,7 | 60,3 | 60,5 | 85,6 |
| 362,8 | 93,2 | 53,6 | 85,7 | 55,8 | 46,5 | 59,5 | 62,6 | 92,8 | 79,5 |
| 46,5 | 60,3 | 81,3 | 38,5 | 55,3 | 58,8 | 81,3 | 57,5 | 34,3 | 46,5 |
Решение:
1) определим максимальное и минимальное значение имеющихся значений: хmin = 26,7 хmax = 99,9
2) Выстроим в порядке возрастания, имеющиеся у нас значения (табл.2)
Таблица 2
| 26,7 | 31,8 | 34,3 | 34,9 | 36,9 | 37,5 | 38,0 | 38,5 | 39,5 | 40,3 | 43,2 |
| 43,5 | 43,5 | 44,9 | 44,9 | 45,8 | 46,5 | 46,5 | 46,5 | 46,5 | 47,7 | 48,5 |
| 50,0 | 51,0 | 52,1 | 53,6 | 54,1 | 55,3 | 55,8 | 56,2 | 57,5 | 57,5 | 58,5 |
| 58,5 | 58,8 | 58,9 | 59,0 | 59,5 | 60,3 | 60,3 | 60,5 | 60,5 | 61,5 | 62,5 |
| 62,6 | 62,8 | 63,0 | 63,9 | 63,9 | 64,3 | 64,3 | 65,2 | 65,3 | 65,3 | 65,5 |
| 65,9 | 66,0 | 66,2 | 66,4 | 66,5 | 66,5 | 66,7 | 67,3 | 67,8 | 68,2 | 68,5 |
| 69,5 | 70,5 | 70,5 | 70,9 | 71,5 | 73,1 | 73,7 | 74,0 | 74,0 | 74,7 | 74,8 |
| 75,1 | 75,8 | 79,2 | 79,3 | 79,3 | 79,5 | 81,3 | 81,3 | 83,5 | 85,1 | 85,5 |
| 85,6 | 85,7 | 86,9 | 87,7 | 91,5 | 92,8 | 93,0 | 93,2 | 94,8 | 95,0 | 99,9 |
3) Определим размах R: R = хmax - хmin = 99,9 - 26,7 = 73,2
