Смекни!
smekni.com

Інтегральні характеристики векторних полів (стр. 1 из 4)

інтегральні характеристики векторних полів

1. Диференціальні операції другого порядку

Нехай в області

задані скалярне поле
і векторне поле
, причому функції
мають в області
неперервні частинні похідні другого порядку. Тоді
і
є диференційовними векторними полями, а
– диференційовним скалярним полем.

До векторних полів

і
можна застосувати операції обчислення дивергенції і ротора, а до скалярного поля
– операцію обчислення градієнта. Таким чином, отримуємо повторні операції:

.

Операцію

називають оператором Лапласа і позначають також символом
:

.

З допомогою оператора Гамільтона оператор Лапласа записується у вигляді

.

Враховуючи, що

,

дістаємо

.

Функція

, яка задовольняє в деякій області рівняння Лапласа
, називається гармонічною в цій області. Наприклад, лінійна функція
є гармонічною в довільній області. Оператор Лапласа широко застосовується в рівняннях математичної фізики. Відзначимо, зокрема, що потенціал електричного поля точкового заряду або поля тяжіння точкової маси, який має вигляд
, при
задовольняє рівняння Лапласа:

(потенціальне векторне поле

є безвихровим) і

(векторне поле

є соленоїдальним).

1. Дві інші повторні операції

і
пов’язані співвідношенням

, (1)

де

– вектор-функція, координатами якої є результати застосування оператора Лапласа до функцій
.

2. Розкладання векторного поля на суму потенціального і соленоїдального полів

Довільне неперервно диференційовне векторне поле

може бути зображено у вигляді

, (2)

де

– потенціальне поле,
– соленоїдальне поле.

Дійсно, за означенням потенціальне векторне поле

є градієнтом деякого скалярного поля
:
. Тому для вектора
із рівності (2) маємо

. (3)

Щоб векторне поле

було соленоїдальним, воно має задовольняти умову
, звідси, враховуючи рівність (3), знаходимо

.

Таким чином, для скалярного потенціала поля

отримуємо рівняння

, (4)

де

– відома функція даного поля
.

Отже, якщо функція

є розв’язком рівняння (4), то, поклавши
,
, отримаємо зображення поля
у вигляді (2), де
– потенціальне поле,
– соленоїдальне поле.

Рівняння (2) – неоднорідне рівняння в частинних похідних другого порядку, яке називається рівнянням Пуассона:

.

Відзначимо, що це рівняння має (нескінченну) множину розв’язків, тому зображення поля

у вигляді (2) не є єдиним.

2. Потік векторного поля

Розглянемо векторне поле

, визначене в просторовій області
, і деяку кусково-гладку орієнтовну поверхню
. Нехай
– поле одиничних нормалей на обраній стороні поверхні
.

Як було відзначено в п. 4.2, поверхневий інтеграл

(5)

називається потоком векторного поля

через поверхню
в сторону, яка визначається вектором
(кажуть також «потік через обрану сторону поверхні
»).

Якщо взяти іншу сторону поверхні (змінити орієнтацію), то вектор

змінить напрям на протилежний; тому скалярний добуток
, а отже, і потік (поверхневий інтеграл (5)) змінить знак.

Якщо

– швидкість рухомої рідини, то
є кількістю (об’ємом) рідини, яка протікає через поверхню
у напрямі нормалі
за одиницю часу. Ця величина називається у фізиці (гідродинаміці) потоком рідини через поверхню
. Тому і у випадку довільного векторного поля
інтеграл (5) називається потоком векторного поля через поверхню
.

Розглянемо електричне поле

точкового заряду
, який міститься в точці
. Знайдемо потік векторного поля
через зовнішню сторону сфери
радіуса
з центром у точці
. Нехай
(
– точка на сфері
); тоді
. Тому