Лекции по математической статистике (стр. 1 из 5)
Введение
Истоками математической статистики (М.С.) является большой объем статистических данных и потребность после их специальной обработки сделать прогноз развития исходной ситуации.
Первый раздел М.С. – описательная статистика – предназначена для сбора, представления в удобном виде и описания исходных данных. Описательная статистика обрабатывает два вида данных: количественные и качественные.
К количественным относятся рост, вес и т.д. к качественным – тип темперамента, пол.
Описательная статистика позволяет описать, обобщить, свести к желаемому виду свойства массивов данных.
Второй разделМ.С. – теория статистического вывода – это формализованная система методов решения задач, сводящихся к попытке вывести свойства большого массива данных путем обследования его малой части.
Статистический вывод строится на описательной статистике и от частных свойств выборки данных мы переходим к частным свойствам совокупности.
Третий разделМ.С. - планирование и анализ эксперта. Разработана для обнаружения и анализа причинных связей между переменными.
Измерение, шкалы и статистика
Измерение – это приписывание чисел объектам в соответствии с определенными правилами. Числа – это удобные в обработке объекты, в которые мы преобразуем определенные свойства нашего восприятия.
Шкаланаименованийили номинальнаяшкала. Номинальное измерение сводится к разбиению совокупности объектов на классы в каждом из которых сосредоточены объекты, идентичные по какому-нибудь признаку или свойству, например, по национальности, по полу, по типу темперамента.
При данных измерениях каждому из классов присваивается число, но оно используется исключительно как название этого класса и никаких операций над этими числами производить не предполагается.
Порядковое измерение возможно только тогда, когда в квалифицируемых объектах можно различить разную степень признака и свойства, на основе которого производится квалификация (например, конкурс красоты «Умники и умницы»). В данном случае числа используют только одно свое свойство – способность упорядочиваться.
Интервальная шкала принимается тогда, когда можно определить не только количество, свойства или признака в объекте, но также зафиксировать равные различия между объектами, то есть можно ввести единицу измерения для свойства или признака (например, температура, возраст).
Числа при интервальных измерениях имеют свойство упорядоченности и однозначности. Равные разности чисел соответствуют равным разностям значений измеряемого свойства или признака объекта.
Шкалаотношенийотличается от интервальной только тем, что точка отсчета не произвольна, а указывает на полное отсутствие измеряемого свойства или признака объекта.
Переменные и их измерение
Переменные бывают дискретные и непрерывные. При измерениях, особенно непрерывных свойств или признаков, можно достигнуть только косвенного значения переменной, то есть приближенного к точному и степень этого приближения будет определяться чувствительностью измерения.
Чувствительность определяется минимальной единицей цифровой шкалы, имеющейся в нашем распоряжении.
Пределы для точного значения устанавливаются путем прибавления и вычитания половины чувствительности измерительного процесса.
Множество чисел записывается с использованием произвольной величины с индексом, который указывает порядковый номер величины в цепи данных (xi).
Обозначение S и его свойства
1.
2.
3.
4.
5.
Табулирование и представление данных
Перед анализом и интерпретацией данных их обобщают.
Обобщение– запись данных в виде таблицы. Самый элементарный этап.
Ранжирование – упорядочение переменных от максимального до минимального или наоборот. Такое упорядочивание называется несгруппированным рангом.
Распределение частот. Проранжированный список сворачивают, указывая все полученные измерения подряд, однократно, а в соседней графе указывают частоту, с которой встречается данная оценка
Распределение сгруппированных частот применяется при большом количестве оценок (100 и более). Оценки группируются по признакам и каждая такая группа называется разрядом оценок. В случае полного поглощения этими группами всех данных, мы говорим о распределении сгруппированных частот.
Построение распределения сгруппированных частот
| Оценки | Интервал | Подсчет | Частота |
| 90 95 51 112 | 110-114 | 1 | 1 |
| 66 78 109 62 | 105-109 | 111 | 3 |
| 106 70 89 91 | 100-104 | 11 | 2 |
| 84 47 58 93 | 95-99 | 1111 | 4 |
| 105 95 59 84 | 90-94 | 111 | 3 |
| 83 100 72 | 85-89 | 1 | 1 |
| 104 69 74 | 80-89 | 111111 | 6 |
| 82 44 75 | 75-79 | 1111 | 4 |
| 97 80 81 | 70-74 | 1111 | 4 |
| 97 75 71 | 65-69 | 111 | 3 |
| 59 75 68 | 60-64 | 1 | 1 |
| 55-59 | 111 | 3 | |
| 50-54 | 1 | 1 | |
| 45-49 | 1 | 1 | |
| 44-45 | 1 | 1 |
Предварительно образовывать не менее 12 и более 15. Меньше 12 искажает результат, более 15 затрудняет работу с таблицей.
1) Определяем размах – разницу между максимальной и минимальной оценкой (112-44=69)
2) Выбор интервала разряда: 69:12=5,75
Определяем с уменьшением до 5: 69:15=4,6
3) Определение границ раздела. Необходимо образовать достаточное количество разрядов, чтобы не потерять самую маленькую и самую большую оценки, поэтому табулирование начнем с величины кратной интервалу. Ближайшее кратное 5 ниже нижней оценки – это 40. И делим на разряды до тех пор, пока не будет охвачена самая высокая оценка. Если необходимо сравнить 2 и более выборки, их помещают в такую же таблицу.
Квантили
Квантили – это способ описать группу измерений. Квантиль – это общее понятие.
Квантиль – точка на числовой шкале, которая делит совокупность наблюдений на группы с соответствующими пропорциями в каждой из них.
Квартиль – делит наблюдения на 4 группы (Q)
Дециль – делит наблюдения на 10 групп (D)
Квинтель – делит наблюдения на 5 групп (К)
Процентиль – делит наблюдения на 100 групп (Р)
Определение процентелей
Процентель представляет собой точку, ниже которой лежит Р % - в оценок.
Вычисление процентеля
| Оценка | 38 | 37 | 36 | 35 | 34 | 33 | 32 | 31 | 30 | 28 | 29 | 27 | 26 | 25 | 24 |
| Частота | 1 | 1 | 3 | 5 | 9 | 8 | 17 | 23 | 24 | 18 | 10 | 3 | 1 | 0 | 2 |
| Накопленная частота | 125 | 124 | 123 | 120 | 115 | 106 | 98 | 81 | 58 | 16 | 34 | 6 | 3 | 2 |
Для определения 25 процентиля P25 (границы под которой расположены 25% всех выставленных оценок)
Общая формула:
где:
n – общее число оценок
L – фактическая нижняя граница того раздела оценок, который включает себя нужную нам оценку
cumf – накопленная в данной нижней границе частота
f – количество оценок в данном разделе
p – определяемый процентиль (в данном случае 0,25)
p*n = 0,25*125=31,25
Находим фактическую нижнюю границу раздела L, содержащую 31,5 (это между 34 и 16).
Нижняя граница оценки 28,5
L=28,5 f=34-16=18
Вычитаем накопленную частоту Lиз произведения nf: ((31,25-16)/18) + 28,5=29,35
Для определения процентиля в случае наличия интервалов оценок, формула принимает вид:
где W – ширина любого интервала оценок (в примере =1).
Наглядное представление данных
В табличных процессорах представляется возможность оформить численные данные в виде графика или диаграммы различного вида, но разновидностей графического представления данных существует больше, чем это предусмотрено программным обеспечением и прежде чем использовать какой-либо из видов необходимо:
· выделить в данных существенную информацию;
· знать все типы представления данных и сделать правильный выбор;
· знать и грамотно использовать потенциал аудитории, для представления которой готовятся данные;
· если оформление осуществляется не вами, разработать подробные и четкие инструкции для технического персонала с учетом имеющихся средств.
Примеры диаграмм и графиков: линейная, столбиковая, полосчатая, кумулятивная кривая, данные накапливаются с течением времени, пиктограмма – данные представляются в виде стилизованных изображений (улов рыбы в виде рыбы), логарифмическая диаграмма, круговая диаграмма.
Графическое представление распределения частот
1) Столбиковая диаграмма (гистограмма)
2) Полигон распределения
3) Сглаженная кривая
Гистограмма - это последовательность столбцов, каждый из которых опирается на один раздельный интервал, а высота столбца – это частота или количество случаев.
Принято распределять горизонтальную шкалу на один раздельный интервал вправо и влево от полученного диапазона. Чтобы гистограмма не получилась сплющенной или вытянутой, выбирают такой масштаб шкалы, чтобы ее ширина составляла 1 2/3 высоты. Середина столбца совмещается с срединой интервала, на практике ее изображают в форме контура, опуская вертикальные линии.