Динамическое и линейное программирование (стр. 1 из 13)

Государственный университет управления

Институт заочного обучения

Специальность – менеджмент

Кафедра прикладной математики

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по дисциплине: «Прикладная математика»

Выполнил студент 1-го курса

Группа № УП4-1-98/2

Студенческий билет №

Москва, 1999 г.

Содержание

1. Линейная производственная задача_____________________________________________ 3

2. Двойственная задача_________________________________________________________ 7

3. Задача о «Расшивке узких мест производства»____________________________________ 9

4. Транспортная задача________________________________________________________ 12

5. Распределение капитальных вложений_________________________________________ 17

6. Динамическая задача управления запасами_____________________________________ 21

7. Анализ доходности и риска финансовых операций________________________________ 26

8. Оптимальный портфель ценных бумаг__________________________________________ 28

1. Линейная производственная задача

Линейная производственная задача – это задача о рациональном использовании имеющихся ресурсов, для решения которой применяют методы линейного программирования. В общем виде задача может быть сформулирована следующим образом:

Предположим, предприятие или цех может выпускать

видов продукции, используя видов ресурсов. При этом известно количество каждого вида ресурса, расход каждого вида ресурса на выпуск каждого вида продукции, прибыль, получаемая с единицы выпущенной продукции. Требуется составить такой план производства продукции, при котором прибыль, получаемая предприятием, была бы наибольшей.

Примем следующие обозначения:

	Номер ресурса (i=1,2,…,m)
	Номер продукции (j=1,2,…,n)
	Расход i-го ресурса на единицу j-ой продукции
	Имеющееся количество i-го ресурса
	Прибыль на единицу j-ой продукции
	Планируемое количество единиц j-ой продукции
		Искомый план производства

Таким образом, математическая модель задачи состоит в том, чтобы найти производственную программу

максимизирующую прибыль:

При этом, какова бы ни была производственная программа

, ее компоненты должны удовлетворять условию, что суммарное использование данного вида ресурса, при производстве всех видов продукции не должно превышать имеющееся количество данного вида ресурса, т.е.

, где

А так как компоненты программы – количество изделий, то они не могут быть выражены отрицательными числами, следовательно добавляется еще одно условие:

, где

Предположим, что предприятие может выпускать четыре вида продукции (

), используя для этого три вида ресурсов ( ). Известна технологическая матрица затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов и вектор удельной прибыли:

Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:

Найти производственную программу

максимизирующую прибыль:

(1.1)

при ограничениях по ресурсам:

(1.2)

где по смыслу задачи:

, , ,

Таким образом, получили задачу на нахождение условного экстремума. Для ее решения введем дополнительные неотрицательные неизвестные:

, ,	остаток ресурса определенного вида (неиспользуемое количество каждого ресурса)

Тогда вместо системы неравенств (1.2), получим систему линейных алгебраических уравнений:

(1.3)

где среди всех решений, удовлетворяющих условию неотрицательности:

, , , , , ,

надо найти решение, при котором функция (1.1) примет наибольшее значение. Эту задачу будем решать методом последовательного улучшения плана – симплексным методом.

Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (1.3) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид – дополнительные переменные являются базисными. Приравняв к нулю свободные переменные x₁, x₂, x₃, x₄, получаем базисное неотрицательное решение:

, , , , , ,

первые четыре компоненты которого представляют производственную программу

, по которой пока ничего не производится.

Из выражения (1.1) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию третьего вида, т.к. прибыль на единицу выпущенной продукции здесь наибольшая, поэтому в системе (1.3) принимаем переменную x₃ за разрешающую и преобразуем эту систему к другому предпочитаемому виду. Для чего составляем отношения правых частей уравнений к соответствующим положительным коэффициентам при выбранной неизвестной и находим наибольшее значение x₃, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, сохранив правые части уравнений неотрицательными, т.е.

Оно соответствует первому уравнению в системе (1.3), и показывает какое количество изделий третьего вида предприятие может изготовить с учетом объемов сырья первого вида. Следовательно, в базис вводим неизвестную x₃, а исключаем от туда неизвестную x₅. Тогда принимаем первое уравнение в системе (1.3) за разрешающее, а разрешающим элементом будет a₁₃=6.

Применив формулы исключения, переходим к новому предпочитаемому виду системы с соответствующим базисным допустимым решением.

Полный процесс решения приведен в таблице 1, где в последней строке третьей таблицы нет ни одного отрицательного относительного оценочного коэффициента