Смекни!
smekni.com

Некоторые вопросы геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре (стр. 5 из 6)

Перемножив (1) и (2), получим

, откуда
(см. критерий конгруэнтности отрезков на модели Пуанкаре).

. Пусть дан
и луч [Aa) с указанной полуплоскостью. Покажем, что существует единственный луч [Ab) в указанной полуплоскости, такой, что
; и каждый угол конгруэнтен самому себе.

Пусть

- евклидова величина неевклидова угла (u,v).

В точке А к евклидовой полуокружности а проведём

касательную в евклидовом смысле и построим в указанной полуплоскости угол, конгруэнтный

. Получим евклидову прямую
.

Построим в точке А к прямой

перпендикуляр до пересечения с f в точке О. С центром в точке О, радиусом ОА проведём полуокружность.

Таким образом, получим неевклидов луч Ab.

Т.к.

, то
(см. критерий конгруэнтности углов на модели Пуанкаре).

Единственность луча b следует из однозначности приведённых построений.

Покажем далее, что

. Это следует из равенства евклидовых величин этих углов.

. Пусть
и
,
,
,
. Покажем, что
,
.

Т.к.

, то существует неевклидово движение
, преобразующее стороны
в стороны
.

1) Пусть

,
.Т. к.

,
, то
,
, т.е.
и
,
, откуда
,
.

2) Пусть

,
.

Рассмотрим инверсию

относительно биссектрисы
. Тогда приходим к ситуации 1).

Замечание. На следующих рисунках изображены конгруэнтные между собой треугольники ABCи

.

рис. 1

рис. 2

Рассмотрим далее решение некоторых задач на модели.

Задача 1. Построить середину отрезка АВ.

1 случай

- касательная к а из О. Докажем, что
. Для этого достаточно рассмотреть

2 случай

Строим евклидову окружность S с диаметром ОВ.

Для доказательства того, что

достаточно рассмотреть

.

Заметим, что т.к.

,

то неевклидова середина отрезка АВ „тяжелее” евклидовой.

Задача 2. Построить биссектрису угла (a,b).

- евклидовы касательные к a и b соответственно в точке А.

- евклидова биссектриса

и
.

c= (O, OA) - неевклидова биссектриса

.

Доказательство основано на критерии конгруэнтности углов на модели Пуанкаре.

Задача 3. Дана Л-прямая а в точке А, не лежащая на а. Построить Л-прямую b, ортогональную а, и

.

1 случай

Достаточно построить

и тогда b- неевклидова прямая, проходящая через точки А и
, т.к окружность, проходящая через пару инверсных точек, ортогональна окружности инверсии.

2 случай

3 случай

(O, OA) =b

Задача 4. Построить высоту, медиану, биссектрису в треугольнике.

Решение основано на задачах 1-3.

Проверим выполнимость аксиомы непрерывности в формулировке Дедекинда.

IV. Пусть все точки прямой разбиты на два класса так, что выполняются условия:

Оба класса не пустые;

Каждая точка прямой отнесена к одному и только одному из классов;

Каждый класс есть выпуклое множество.

Покажем, что в одном из классов существует граничная точка, т.е. такая точка, которая не лежит между двумя точками одного и того же класса.

Пусть все точки Л-прямой а разбиты на два класса

и
так, что выполнены условия 1-3 аксиомы Дедекинда.

Рассмотрим евклидову прямую

, касающуюся Л-прямой aи параллельную f.

Установим соответствие между точками прямых а и

, с помощью радиальных прямых. Очевидно, что это соответствие будет взаимно-однозначным. Поэтому все точки евклидовой прямой
разобьются на два класса
и
так, что будут выполнены условия 1-3 аксиом Дедекинда.

Т.к. для евклидовой прямой аксиома Дедекинда справедлива, то в одном из классов

или
существует граничная точка
.