Смекни!
smekni.com

Статистическая устойчивость случайных событий (стр. 1 из 3)

Министерство образования и науки Украины

Государственная лётная академия

Теория вероятностей

и математическая статистика

Лабораторная работа№1

Статистическая устойчивость случайных событий.

Вариант 6

Выполнил:

Курсант 871 к.о.

Зозуля С.

Проверил:

Борота В.Г.

Кировоград 2009 г.


1. Краткие теоретические сведения.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие “при бросании монеты выпал герб” – случайное . Каждое случайное событие, в частности выпадение герба, есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны.

По иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определённым закономерностям, а именно вероятностным закономерностям.

Пусть произошло n испытаний, и событие А произошло m раз. Очевидно, что 0£m£n.

Частотой случайного события А в данной последовательности испытаний называется число W(A) где

т.е. отношение количества появлений события А к количеству испытаний.

Событие А называется статистически устойчивым, если при увеличении числа испытаний n частота W(A) стабилизируется и стремится к определенному числу Р почти в каждой серии испытаний. Для проверки статистической устойчивости случайного события А можно построить последовательность значений частоты W(A) при n®¥ и изобразить последовательность на графике. Если W(A) при n®¥ группируется около определённого числа Р, можно предположить устойчивость частоты события А.

Статистическое определение вероятности: вероятностью случайного события А называется такое число Р=Р(А), что частота W(А) стремится к Р при увеличении числа испытаний n почти в каждой серии испытаний.

Классическое определение вероятности: вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов n, образующих полную группу.

Произведем n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна Р (0<p<1).

Величина

q = 1- p

является вероятностью события Ā, противоположного событию А, заключающегося в не появлении события А

q = p (Ā)

Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что отклонения относительной частоты

от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа e>0. Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства
.

Эту вероятность будем обозначать так:

Можно доказать, что

Здесь

функция Лапласа.

При решении задач пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл

не выражается через элементарные функции. В таблице даны значения Φ(x) для положительных значений x и для x = 0; для х< 0 пользуются той же таблицей, поскольку функция Φ(x) – нечетная, Φ(-x)= - Φ(x).

В таблице приведены значения интеграла только для x = 5, так как для x>5 можно принять Φ(x)=0,5.

Доверительная вероятность:

Пусть найденная по данным серии опытов статистическая характеристика W(A) служит оценкой неизвестного параметра Р(А). Ясно, что W(A) тем точнее определять параметр Р(А), чем меньше абсолютная величина разности÷Р(А)-W(А)÷. Другими словами, если

÷Р(А)-W(А)÷<e, то чем меньше e, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число e характеризует точность оценки.

Надёжностью или доверительной вероятностью оценки Р(А) по W(А) называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство

÷Р(А)-W(А)÷<e

Обычно надёжность оценки задаётся наперед, причем в качестве γ берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,9; 0,95; 0,99 и 0,999. Если нужно оценить минимальное число опытов, необходимое для стабильного получения отклонений частоты в пределах заданной величины e, то для доверительной вероятности γ =0,95 можно пользоваться формулой

Варианты задач для заданий 1 и 2

Задача 1.

Событие А – появление герба при бросании монеты. Результаты опытов отражены в приложении 1. Серии брать по 10 бросаний монеты. Последовательность испытаний указана в таблице заданий.

Задача 2.

Событие А – регистрация мальчиков среди новорожденных. Результаты опытов отражены в приложении 2. Серии брать по 10 регистраций. Последовательность испытаний указана в таблице заданий.

Задача 3.

Событие А – поступление в КИСМ абитуриентов с фамилией, начинающейся с буквы К. Результаты опытов отражены в прил. 3. Серии брать по числу студентов в группах. Последовательность опытов -в таблице заданий.

Задача 4 .

Событие А – появление цифры 1,2,3,4,5 или 6 при бросании игрального кубика. Результаты опытов отражены в приложении 4. Серии брать по 30 бросаний кубика. Последовательность испытаний и цифра указаны в таблице заданий.

Задача 5.

Сделать вырезку из газеты или журнала. Событие А – появление буквы в тексте. В отрывке должно быть 2000 букв. Серии брать по 100 букв. Необходимая буква указана в таблице заданий. Вероятности появлений русских букв в тексте в приложении 11.

Таблица заданий
Номер Номер задачи Последовательность Вариант буквы
варианта для задания 1 испытаний для задания 2
1 1 1-300 Задача 5 - "О"
2 1 101-400 Задача 5 - "И"
3 1 201-500 Задача 5 - "А"
4 1 301-600 Задача 5 - "Е"
5 1 401-700 Задача 5 - "О"
6 1 501-800 Задача 5 - "И"
7 2 1-360 Задача 5 - "А"
8 2 121-480 Задача 5 - "Е"
9 2 241-600 Задача 5 - "О"
10 2 351-720 Задача 5 - "И"
11 2 481-840 Задача 5 - "А"
12 2 601-960 Задача 5 - "Е"
13 2 721-1080 Задача 5 - "О"
14 3 С01-Д91 Задача 5 - "И"
15 3 Д91-Р83 Задача 5 - "А"
16 4 1-600 цифра 6 Задача 5 - "Е"
17 4 1-600 цифра 5 Задача 5 - "О"
18 4 1-600 цифра 4 Задача 5 - "И"
19 4 1-600 цифра 3 Задача 5 - "А"
20 4 1-600 цифра 2 Задача 5 - "Е"
21 4 1-600 цифра 1 Задача 5 - "О"
22 4 301-900 цифра 6 Задача 5 - "И"
23 4 301-900 цифра 5 Задача 5 - "А"
24 4 301-900 цифра4 Задача 5 - "Е"
25 4 301-900 цифра 3 Задача 5 - "О"
26 4 301-900 цифра 2 Задача 5 - "И"
27 4 301-900 цифра 1 Задача 5 - "А"
28 4 451-1050 цифра 6 Задача 5 - "Е"
29 4 451-1050 цифра 5 Задача 5 - "О"
30 4 451-1050 цифра 4 Задача 5 - "И"

Задания к лабораторной работе.

1.Для изучения статистической устойчивости события А в заданиях 1 и 2 результаты испытаний сгруппировать сериями по n испытаний в каждой серии, Число полученных серий обозначим k.

2.Подсчитать число появлений mі события А в каждой серии.

3.Вычислить частоту ωi(A) появления событий А в каждой серии/

4.Объединив результаты опытов 1 и 2, затем 1, 2, 3 и т.д. до последней серии опытов в задании, вычислить:

Nі – число опытов в объединённых (накопленных) сериях испытаний.

Mі – число появления события А в объединенных (накопленных) сериях

испытаний.

Wі(А) – частоту появления события А в объединенных (накопленных) сериях испытаний.

5. Результаты вычислений занести в таблицу 1.

6. Построить точечную диаграмму №1. Зависимость ωi(A) от номера серииі=1, 2, ... k.

7.Построить точечную диаграмму №2. Зависимость Wk (А)от числа опытов в серии Nі .

8. Сравнить полученные диаграммы и сделать вывод о статической устойчивости события А.

9. Вычислить или найти в приложении 1 и 2 вероятность появления события А Р(А).

10. Вычислить вероятность противоположного события, пользуясь формулой q = 1 -p.

11.Найти отклонение относительной частоты Wk(А) от его статистической вероятности Р(А), пользуясь формулой e=÷Wk(А)-Р(А)÷.