Неопределенные бинарные квадратичные формы (стр. 1 из 7)

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Введение

Основоположником теории квадратичных форм является французский математик Лагранж. Им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта.

Начинается арифметическая теория квадратичных форм с утверждения Ферма о существовании простых чисел

суммой двух квадратов.

Теория квадратичных форм продолжала развиваться. Гаусс также вводит много новых понятий. Гауссу сумел получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел.

В данной работе исследуются предварительные общие сведения о бинарных квадратичных формах. Приведено элементарное доказательство известной оценки для числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Здесь рассмотрены периоды неопределенных квадратичных форм, также решены два вопроса о двусторонних формах. Также приведены доказательства, что диагональные формы одного и того же положительного дискриминанта не эквивалентны.

Предварительные сведения о бинарных квадратичных форм

Определим общие понятия и свойства, которые прямым образом касаются бинарных квадратичных форм.

Однородный многочлен второй степени от двух переменных называется бинарной квадратичной формой:

(1)

где

—вещественные числа.

Соответственно используемые коэффициенты в данной формуле

— являются первым, вторым и третьим коэффициентами .

Для наглядности эту формулу будем обозначать через

, получим:

В теории форм над кольцами и в первую очередь над кольцом

целых чисел более предпочтительной является запись вида (1).

В теории квадратичных форм над полями приведены формы, у которых второй коэффициент без множителя

, т. е.:

Если в бинарной квадратичной форме (1) коэффициенты

являются целыми числами, тогда эту форму называют классической целой или целочисленной по Гауссу.

В данной работе классические квадратичные формы будем называть численными.

Если существует линейная подстановка переменных

(2) с целыми коэффициентами и определителем , переводящая форму в форму , такая, что выполняется равенство

, (3),

тогда бинарные целочисленные квадратичные формы

и называются собственно эквивалентными.

Иначе, если целочисленная подстановка (2) с определителем

переводит форму в форму , бинарные квадратичные формы называются несобственно-эквивалентными.

Полученные эквивалентные формы обозначим следующим образом:

~

Из (2) и (3) вытекают соотношения, связывающие коэффициенты двух эквивалентных форм

и .

(4)

Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант, т.е. число

бинарной квадратичной формы

Предположим, что

собственно или несобственно эквивалентна форме . Значит, опираясь на определение об эквивалентности, можно сказать, что есть такие целые числа с определителем , при которых выполняются соотношения (4). Отсюда следует:

Эквивалентные бинарные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел.

Допустим, что формы

и эквивалентны. Значит, есть унимодулярная целочисленная подстановка переменных:

,

тогда

Предположим

, значит:

,

Таким образом, форма

— это есть число . В связи с тем, что отношение эквивалентности бинарных квадратичных форм имеет свойство симметричности, значит, любое число, которое выглядит, как можно заменить на .

Свойствами рефлективности симметричности и транзитивности обладает отношение собственной эквивалентности бинарных квадратичных форм.

Следуя этому утверждению, можно сказать, что если для целого числа

при некоторых целых и , а также для квадратичной формы выполняется равенство , значит, квадратичная форма представляет число .

Множество всех бинарных квадратичных форм эквивалентных форме

называют классом форм.

В силу предложения 2 и определения 5 можно сказать, что множество бинарных квадратичных форм данного дискриминанта распадается на классы форм, собственно эквивалентных относительно унимодулярного целочисленного преобразования переменных (2).

Далее, в зависимости от знака дискриминанта

, бинарные квадратичные формы делятся на определенные и неопределенные формы.

Определение 6. Квадратичная форма

дискриминанта называется определенной, если и неопределенной, если . Такое определение подсказано тем, что при бинарная квадратичная форма принимает значения только одного знака (положительные при и отрицательные при ), а при она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм, и мы будем рассматривать в данной работе только неопределенные формы.