Нормированные пространства (стр. 1 из 8)

Содержание.

Введение……………………………………………………………………….2

Глава I. Нормированные пространства…………………………………..3

§1. Понятие нормированного пространства........................................3

§2. Пространства суммируемых функций…………………………...5

§3. Интеграл Лебега – Стилтьеса………………………………..........7

Глава II. Интерполяция в пространствах суммируемых функций….11

§1. Теорема Марцинкевича и ее применение……………………...11

§2.Теорема Рисса–Торина и ее применение ………………………15

Глава III. Пространства суммируемых последовательностей…..…....24

§1. Основные понятия……………………………………………….24

§2. Связь между коэффициентами Фурье

-периодической функции и ее нормой в …………….……………………………25

Литература………………………………………………………………...28

Введение.

Понятие нормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С.Банахом в 20-х годах 20 века. В работе эта теория прилагается к изучению суммируемых функций и последовательностей с позиций функционального анализа. Эти функции и последовательности образуют нормированные пространства, на которых вводятся операции сложения и умножения на число, а также норма.

Основным объектом классического функционального анализа являются операторы, действующие из одного банахова пространства в другое.

Целью данной работы является рассмотрение линейных операторов, действующих из одного пространства суммируемых функций в другое, а также в пространство суммируемых последовательностей.

Основные понятия нормированных пространств изложены в первой главе.

Вторая глава посвящена интерполяции в пространствах измеримых функций. Рассмотрена теорема Марцинкевича, являющаяся одной из классических в теории интерполяции, и дано ее подробное доказательство. Приводится доказательство непрерывности оператора свертки с использованием данной теоремы. Также рассмотрена интерполяционная теорема Рисса – Торина и ее применение.

В третьей главе даны основные понятия пространства суммируемых последовательностей, доказана связь между коэффициентами Фурье

- периодической функции и ее нормой в при помощи теоремы Марцинкевича.

Глава I. Нормированные пространства.

§1. Понятие нормированного пространства.

Введем основные понятия теории нормированных пространств.

Определение. Непустое множество

называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Ι. Для любых двух элементов

однозначно определен элемент , называемый их суммой, причем

1.

(коммутативность)

2.

(ассоциативность)

3. В

существует такой элемент 0, что для всех

4. Для каждого

существует такой элемент , что .

II. Для любого числа

и любого элемента определен элемент , причем

5.

6.

III. Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:

7.

8.

Определение. Линейное пространство

называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:

1.

;

2.

для любого и любого числа ;

3.

для любых (неравенство треугольника).

Определение.Операторомназывается отображение

, где - это линейные пространства.

Определение. Оператор

называется линейным, если для любых элементов и любых чисел R выполняется равенство:

.

Определение. Пусть

- линейные нормированные пространства,

– линейный оператор, .

Линейный оператор непрерывен в точке

, если из того, что

следует, что .

Определение.Линейный оператор

непрерывен, если он непрерывенв каждой точке .

Определение. Линейный оператор называется ограниченным, если

.

Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.

Определение. Наименьшая из констант M таких, что

, называется нормой оператора А и обозначается .

В частности, выполняется

.

Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора

.

§2. Пространства суммируемых функций.

Среди различных классов нормированных пространств, встречающихся в анализе, один из важнейших - это пространство суммируемых функций. Далее будем рассматривать именно эти нормированные пространства.

Определение. Пусть

– некоторое фиксированное измеримое множество из . Пространством

, где ,называется нормированное пространство, элементами которого служат функции , измеримые и почти всюду конечные на , для которых выполняется

Функции, эквивалентные друг другу на

, не различаются, а считаются за один и тот же элемент пространства . В частности, нулевой элемент в – это совокупность всех функций, равных нулю почти всюду.