Вектор (стр. 1 из 6)

Уральский Государственный Колледж Имени И.И.Ползунова

Доклад на тему:

«Векторы»

Выполнил:Ланглиц.А.И

Группа: Б-147

Преподаватель:Запорожан.В.В

Екатеринбург 2010

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1. Понятие вектора.

Глава 2. Простейшие операции над векторами.

Глава 3. Линейная зависимость векторов.

Глава 4. Понятие базиса. Координаты вектора в данном базисе.

Глава 5. Проекция вектора.

Глава 6. Скалярное произведение.

Глава 7. Векторное произведение.

Глава 8. Смешанное произведение.

Литература

Глава 1. Понятие вектора
Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками – его концами. Различают также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов которого известно какой из них первый (начало), а какой – второй (конец).

Определение: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называетсявектором.

Вектор обычно обозначается символом

, где А – начало, а В – конец направленного отрезка, либо одной буквой (в некоторых учебниках буква выделяется полужирным шрифтом; при этом стрелка опускается a). На чертеже вектор изображается стрелкой. Начало вектора называют точкой его приложения.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля. Так

и обозначают длины соответствующих векторов.

Вектор единичной длины называют ортом.

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Считается, что нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет обозначать нулевой вектор вещественным числом 0 (нуль).

Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллениарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы.

Векторы называются компланарными, если они лежат либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.

Определение: Два вектора называются равными, если они: 1) коллинеарны; 2) равны по длине; 3) одинаково направлены.

Следствие: Для любого вектора

и для любой точки А, существует, и притом единственная, точка B такая, что .

Мы не будем различать двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Такие векторы называются свободными (в отличие от скользящих и связанных векторов, встречающихся в других науках).

Понятие равенства векторов обладает следующими свойствами:

1.

(рефлексивность).

2. Из того, что

, следует (симметричность).

3. Из того, что

и , следует (транзитивность).

Глава 2. Операции над векторами

Определение: Суммой

двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора , а конец – в конце вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

В соответствии с определением слагаемые

и и их сумма образуют треугольник (рис.2). Поэтому данное правило сложения двух векторов называют «правилом треугольника».

Операция сложения векторов обладает свойствами:

1.

(коммутативность);

2.

, (ассоциативность);

3.

для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

4. для каждого вектора

существует противоположный ему вектор такой, что (для получения достаточно поменять местами начало и конец вектора ).

Вектор противоположный вектору

обозначают .

Определение: Разностью

векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного вектору , т.е. .

Разность

получается из вектора сдвигом его начала в конец вектора , при условии, что векторы и имеют общее начало (рис.3). Очевидно, что для любого вектора .

Замечание: Существует еще одно правило сложения векторов, называемое «правилом параллелограмма»: векторы

и прикладываются к общему началу О, и на них строится параллелограмм (рис. 4). Суммой будет вектор , расположенный на диагонали параллелограмма. Разностью здесь будет вектор , расположенный на второй диагонали.

Векторная алгебра имеет дело с двумя типами величин: векторами и числами. Числа обычно называют скалярными величинами или скалярами.

Определение: Произведением

вектора

на вещественное число λ (скаляр) называется вектор

, такой, что 1) ; 2) вектор коллинеарен вектору ; 3) векторы и имеют одинаковое (противоположное) направление если λ > 0 (λ < 0).