Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.20 (стр. 1 из 2)
Задача 20. Показать, что функция
удовлетворяет уравнению (1).20.1.
y'= e-x^2/2-x2e-x^2/2= e-x^2/2(1-x2)
xe-x^2/2(1-x2)=xe-x^2/2(1-x2)
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.2.
y'= (xcosx-sinx)/x2
(xcosx-sinx)/x+sinx/x=cosx
cosx=cosx
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.3.
y'= -10e-2x+ex/3
-10e-2x+ex/3+10e-2x+2ex/3=ex
ex=ex
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.4.
y'= -cx/√(1-x2)
-cx(1-x2)/√(1-x2)+2x+cx√(1-x2)=2x
2x=2x
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.5.
y'= √(1-x2)-x2/√(1-x2)= (1-2x2)/√(1-x2)
x√(1-x2)(1-2x2) = x-2x3
√(1-x2)
x-2x3= x-2x3
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.6.
y'= c*tgx/cosx
c*tgx/cosx-c*tgx/cosx=0
0=0
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.7.
y'= 3/(3x+c)2
3/(3x+c)2=3/(3x+c)2
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.8.
y'= ex/(c+ex)
ex/(c+ex)= ex/eln(c+e^x)
ex/(c+ex)=ex/(c+ex)
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.9.
dy= (2x-c)dx/(2√(x2-cx))
(x2+x2-cx)dx-(2x√(x2-cx)(2x-c)dx)/(2√(x2-cx))=0
0=0
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.10.
dy= (cx-xlnx+1)dx
(x-x(c-lnx))dx+x(cx-xlnx+1)dx=0
0=0
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.11.
y'= etgx/2/(2cos2x/2)= etgx/2/(cosx+1)
sinx*etgx/2/(cosx+1)= etgx/2lnetgx/2
tgx/2= tgx/2
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.12.
y'= (1-x+1+x)/(1-x)2=2/(1-x)2
2/(1-x)2= 1-2x+x2+1+2x+x2
(1-x)2(1+x)
2/(1-x)2=2/(1-x)2
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.13.
y'= 1-b2
(1-bx)2
b+x – x(1-b2) = b + x2(1-b2)
1+bx (1-bx)2 (1-bx)2
b + x2(1-b2)=b + x2(1-b2)
(1-bx)2 (1-bx)2
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.14.
y'= 1-2x _
3√(2+3x-3x2)2
(1-2x) 3√(2+3x-3x2) = 1-2x _
3√(2+3x-3x2)2 3√(2+3x-3x2)
1-2x _= 1-2x _
3√(2+3x-3x2) 3√(2+3x-3x2)
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.15.
y'= 4ex = ex _
4(1+ex)√(ln((1+ex)/2)2+1) (1+ex)√(ln((1+ex)/2)2+1)
ex(1+ex)√(ln((1+ex)/2)2+1) = ex
(1+ex)√(ln((1+ex)/2)2+1)
ex=ex
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.16.
dy= 3dx _
3xcos2ln3x
(1+tg2ln3x)dx = 3xdx _
3xcos2ln3x
dx/cos2ln3x= dx/cos2ln3x
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.17.
y'= 2/(x3√(2/x2-1))
1+2/x2-1- 2x√(2/x2-1)/(x3√(2/x2-1))=0
0=0
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.18.
y'= x-1 _
3x√(x-lnx-1)2
lnx+x-lnx-1-3x(x-1)√(x-lnx-1)2 = 0
3x√(x-lnx-1)2
0=0
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.19.
y'= 7/(ax+1)2
a+7x/(ax+1) – 7x/(ax+1)2 = a(1+7x2/(ax+1)2)
a(1+7x2/(ax+1)2)= a(1+7x2/(ax+1)2)
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.20.
y'= -a2 _
2x2√(a/x-1)cos2√(a/x-1)
a2+a2tg2√(a/x-1)- 2a2x√(ax-x2) = 0
2x2√(a/x-1)cos2√(a/x-1)
a2/cos2√(a/x-1) – a2/cos2√(a/x-1)=0
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.21.
y'= 1 _
8 4√(√x+√(x+1))
8x _ 4√(√x+√(x+1)) = -1 _
8 4√(√x+√(x+1)) 4√(√x+√(x+1))3√(x+1)
-1 _= -1 _
4√(√x+√(x+1))3√(x+1) 4√(√x+√(x+1))3√(x+1)
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.22.
y'= ex^2(1+2x2+2x)
ex^2(1+2x2+2x) – 2xex^2(1+x)=2xex^2
2xex^2=2xex^2
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.23.
y'= 2x2-4x5-x6-2x3-1
x2(x3+1)2
x(x3+1)( 2x2-4x5-x6-2x3-1) + (2x3-1)(2x2+1) = x3-2
x2(x3+1)2 x(x3+1) x
x3-2= x3-2
x x
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.24.
y'= (1+2x)ex+x^2+2ex
(1+2x)ex+x^2+2ex - ex+x^2+2ex = 2xex+x^2
2xex+x^2=2xex+x^2
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.25.
y'= -cosx-xsinx+3
-xcosx+x2sinx+3x = -xcosx+3x+ x2sinx
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.26.
y'= -cosx-1 _
2√(sinx+x)3
-2sinx(cosx+1)+ cosx = xcosx-sinx
2√(sinx+x)3 √(sinx+x) √(sinx+x)3
xcosx-sinx = xcosx-sinx
√(sinx+x)3 √(sinx+x)3
Равенство выполняется. Функция
удовлетворяет уравнению (1).20.27.
y'= 2x3-4x2+2x-1
(x-1)2