Смекни!
smekni.com

Многомерные пространства понятие и виды (стр. 1 из 17)

ГОУВПО «Арзамасский государственный педагогический институт

имени А.П.Гайдара»

Кафедра алгебры, геометрии и методик их преподавания.

Дипломная работа

«Многомерные пространства»

Выполнил: студент 54 группы

физико-математического факультета

Карасёв Алексей

Научный руководитель кандидат

физико-математических наук,

доцент: Елисеев Е.М.

Арзамас 2008г.

Введение.

Глава 1. Аффинное пространство.

1.1. Аффинное n-мерное пространство.

1.2. Аффинная система координат.

1.3. Квадрики в аффинном пространстве.

1.4. Классификация квадрик в аффинном пространстве.

1.5. Различные виды уравнений k-плоскостей.

1.6. Взаимное расположение k-плоскостей.

1.7. Расстояние между k-плоскостями.

Глава 2. Евклидово пространство.

1.1. n-мерное евклидово пространство.

1.2. Расстояние между двумя точками. Угол между векторами.

1.3. Движения евклидова пространства.

1.4. Группы движений пространства

.

1.5. Преобразование подобия. Группа подобий.

1.6. Квадрики в евклидовом n-пространстве.

1.7. Задачи.

Заключение.

Литература.

Введение.

Многомерная геометрия- геометрия пространств размерности, большей трёх. Термин «Многомерная геометрия» применяется к тем пространствам, геометрия которых была первоначально развита для случая трёх измерений и только потом обобщена на число измерений n>3, то есть прежде всего к евклидову пространству, а также к пространству Лобачевского, Римана, проективному, аффинному.

Исторически представление в более чем 3-мерном пространстве зарождалось постепенно; первоначально - на почве геометрического представления степеней:

- «квадрат»,
- «куб», но
и т.д. уже не имеет наглядного представления, и говорили
- «биквадрат»,
- «кубоквадрат» и т.п. (еще у Диофанта в 3в. и далее ряда средневековых авторов). Мысль о многомерном пространстве выражал И.Кант (1746 г), а о присоединении к пространству в качестве 4-й координаты времени писал Ж. Д´ Аламбер. Построение же евклидовой многомерной геометрии было осуществлено А.Кэли (1843г.), Г.Грассманом (1844г.) и Л.Шлефли(1852г.). Первоначальные сомнения и мистика, связанные со смешением этих обобщений с физическим пространством, были преодолены, и n-мерное пространство как плодотворно формально-математическое понятие скоро полностью укрепилось в математике.

Евклидово пространство произвольного числа измерений n

(не исключая случая бесконечно - мерного) проще всего определить как такое , в котором выделены подмножества – прямые и плоскости, имеются обычные отношения : принадлежности порядка, конгруэнтности (либо определены расстояния или движения), и выполняются все обычные аксиомы, кроме следующей: две плоскости , имеющие общую точку, имеют по крайней мере еще одну. Если это выполнено, то пространство 3-мерно, если же не выполнено, так что есть две плоскости с единственной общей точкой, то пространство, как минимум , 4- мерно.

Совершенно аналогично евклидову пространству

определяются пространство Лобачевского
и аффинное
. В пространстве
выполняются все те же аксиомы, что в
, с заменой аксиомы параллельности на противоположную, а в
- все аксиомы
за исключением аксиом конгруэнтности, вместе с которыми исключается и само понятие конгруэнтности. Аналогично, изменением аксиом сочетания можно определить n-мерное проективное пространство
. Другой способ определения всех этих пространств состоит в том, что в них вводятся координаты, задается группа их преобразований и геометрическими считаются те и только те соотношения, которые инвариантны относительно этой группы. В случае
– это группа подобий; для
- это группа всех линейных (неоднородных) преобразований.

Аффинное n-мерное пространство.

Пусть V-векторное пространство над полем K .Элементы из V будем обозначать так:

,
,…,
,
,…. Множество E
называют аффинным пространством над векторным пространством V над полем K,если задано отображение
: E
E
V, удовлетворяющая двум условиям (аксиомам Вейля аффинного пространства):

1. Для каждого элемента A

E отображение
:E
V по закону
(B)=
(A,B),
B
является биекцией.

Каждой упорядоченной паре (A,B) элементов A,B

E отображение
ставит в соответствие определенный вектор
(A,B)=
V. Этот вектор обозначают через
. По аксиоме 1 для каждых A
E,
V существует и притом единственный элемент X
, такой, что
=

2.

+
=
,
A,B,C
E.

Элементы A,B,C ,...аффинного пространства E называются точками. Векторы

,…из V называются переносами (или свободными векторами) пространства E, а векторное пространство V-пространством переносов аффинного пространства E.

Отметим некоторые следствия из определения аффинного пространства:

1)

=
=
По аксиоме 2

+
=
(1)

+
=
(2)