Математическая модель системы в переменных пространства состояний (стр. 1 из 2)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ В ПЕРЕМЕННЫХ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Математическая модель системы в переменных пространства состояний имеет вид
, (2.1.1) 
(2.1.2)где
мерный вектор параметров состояний; 
мерный вектор управляющих воздействий; 
мерный вектор возмущающих воздействий; 
l- мерный вектор выходов; А – матрица состояний системы размерности 
; В – матрица управлений размерности 
; Г – матрица возмущений размерности 
; С – матрица выходов размерности l 
n; D – матрица компенсаций (обходов) размерности l 
m.Решение векторного дифференциального уравнения (2.1.1) имеет следующий вид:
, (2.1.3)где
- экспоненциал матрицы А.Подставляя выражение (2.1.3) в формулу (2.1.2), получаем интегральное уравнение движения системы в переменных «вход – выход».
Рассмотрение движения системы в переменных пространства состояний связано с трудностью решения дифференциальных уравнений n-го порядка, описывающих движение системы в переменных «вход – выход», и с хорошо разработанными методами решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.
2.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 2.2.1
Определить переходные процессы в системе
(2.2.1) 
, (2.2.2)под действием ступенчатых воздействий по каналам управления
и возмущения 
.Решение
В соответствии с выражениями (2.1.2), (2.1.3) запишем уравнение движения системы в интегральной форме
. (2.2.3)Учитывая, что u(t)=u*1(t)=u, r(t)=r*1(t)=r и t0=0, представим выражение (2.2.3) в виде
. (2.2.4)Для нахождения экспоненциала матрицы А определим корни характеристического уравнения
, то есть 
и 
.Так как корни различные действительные и матрица А диагональная, то ее экспоненциал равен
. (2.2.5)Подставляя выражения (2.2.5) в формулу (2.2.4) и последовательно проводя преобразования, получаем
=
.Следовательно, уравнение движения рассматриваемой системы в переменных «вход – выход» имеет вид:
.УСТОЙЧИВОСТЬ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Устойчивость или неустойчивость линейной многомерной системы (2.1.1) определяется ее свободным движением (
), которое характеризуется собственными числами матрицы А, определяемыми из характеристического уравнения 
(3.1.1)Линейная система (2.1.1) устойчива тогда и только тогда, когда все вещественные части собственных (характеристических) чисел λj=λj(A) (j=1,…,n) имеют неположительные значения, т.е. Reλj
. Если Reλj<0, то система асимптотически устойчива.Характеристическое уравнение (3.1.1) можно записать в виде
nn-1nn0. (3.1.2)
Условия устойчивости для системы n-го порядка записываются в виде определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов характеристического уравнения (3.1.2).
.Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при α0>0 были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть ΔI>0 (i=l,...,n). Положительность последнего определителя Гурвица
Δn=αnΔn-1 (3.1.3)
при Δn-1>0 сводится к положительности свободного члена αn характеристического уравнения.
3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 3.2.1
Определить устойчивость и характер свободного движения динамической системы, заданной в пространстве состояний векторными уравнениями
, (3.2.1) 
. (3.2.2)Решение.
Запишем для системы (3.2.1) характеристическое уравнение (3.1.1)
, (3.2.3)решение которого дает следующие корни:
.Рассматриваемая динамическая система является устойчивой. Ее свободное движение носит апериодический сходящийся характер, так как вещественные части корней характеристического уравнения отрицательные.
Задача 3.2.2
Определить устойчивость динамической системы, заданной в пространстве состояний векторно-матричными уравнениями
, 
, (3.2.4) 
. (3.2.5)Решение.
Запишем для системы (3.2.4) характеристическое уравнение (3.1.1)
. (3.2.6)Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим следующее характеристическое уравнение:
. (3.2.7)Устойчивость системы будем определять на основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица, составив для этого по уравнению (3.2.7) матрицу Гурвица
. (3.2.8)Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при положительности коэффициента при старшей степени (в нашем случае коэффициент при λ3 равен 1) были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть Δi>0 (i=1,2,3)
, 
.В соответствии с вышеизложенным находим, что свободный член характеристического уравнения (3.2.7) равный 54 - положительный.
Следовательно, система (3.2.4) является устойчивой.
УПРАВЛЯЕМОСТЬ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Управляемость системы (2.1.1), (2.1.2) по состояниям определяется теоремой (критерием) Калмана: система будет управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости Lc размерности
равен n, то есть