Квадратичные формы 2 (стр. 1 из 6)
Содержание
1.Теория
1.1 Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 n-мерное векторное пространство. Преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
систем координат.
1.3 Определение квадратичных форм. Общий вид, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
канонический вид, нормальный вид.
1.4 Матрица квадратичнаых форм. Теорема о ранге матрицы.. . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Различные способы приведения квадратичных форм к . . . . . . . . . . . . . . . .8
каноническому виду и к нормальному виду
1.6 Формулы преобразования и матрицы преобразования.. . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Закон инерции квадратичных форм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Положительно-определённая квадратичная форма. . . . . . . . . . . . . . . .. . . 19
2. Приложения
2.1 Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24
1.1 Введение
В данной работе мы рассмотрим квадратичные формы и основные операции над ними. А также в заключении моей работы решим пять задач по данной теме.
1.2n-мерное векторное пространство. Преобразование систем координат.
Из правил сложения векторов и умножения вектора на число вытекают важные свойства, которые легко доказываются:
1)
; 2) 
;3)
; 4) 
;5)
; 6) 
;7) т×0 = 0; 8) если тa = 0, то или т = 0, или a = 0.
Совокупность всех п-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется п-мерным векторным пространством.
Геометрический смысл сложения и умножения на число двумерных и трёхмерных векторов.
Вектор b называется линейной комбинацией векторов a1,a2, ¼, aп, если существуют такие числа т1, т2,¼, тп, что
b = т1a1 + т2a2 ¼ + т пaп
Линейной оболочкой
системы векторов 
называется множество всех линейных комбинаций этой системы векторов.Система векторов a1,a2, ¼, aп называется линейно зависимой, если найдутся такие числа т1, т2,¼, тп, хотя бы одно из которых не равно нулю, что имеет место равенство
т1a1 + т2a2 ¼ + т пaп = 0.
Линейно независимая система п-мерных векторов
a1,a2,¼,aп (1)
называется максимальной линейно независимой системой, если добавление к ней любого п- мерного вектора bдаёт линейно зависимую систему. Если (1) – максимальная линейно независимая система, то во всякой линейной комбинации векторов a1,a2,¼,aп,b, равной нулю, коэффициент при векторе bдолжен отличаться от нуля(!), и вектор b можно представить в виде линейной комбинации векторов a1,a2,¼,aп. Отсюда следует, что система пмерных векторов тогда и только тогда будет максимальной линейно независимой системой, если её векторы линейно независимы, а любой п-мерный вектор является линейной комбинацией этих векторов.
Теперь можно сделать заключение. В п-мерном пространстве всякая линейно независимая система, состоящая из п векторов, будет максимальной, а любая максимальная линейно независимая система векторов этого пространства состоит не более чем из п векторов.
Всякая линейно независимая система п-мерных векторов содержится хотя бы в одной максимальной линейно независимой системе. Действительно, если заданная система векторов не максимальна, то к ней можно присоединить один вектор так, что полученная система останется линейно независимой. Если новая система не максимальна, то к ней можно добавить ещё один вектор. Этот процесс может продолжаться до тех пор, пока в системе не будет п векторов.
Введём в геометрическом n-мерном пространстве произвольную систему и будем рассматривать переменные
как координаты точки М в этой системе. Тогда 
есть значение квадратичной формы в точке М.Перейдём к новой системе координат по формулам:
(2)Здесь
- старые; 
- новые координаты одной и той же точки.Выясним, как изменится матрица квадратичной формы при переходе к новой системе координат. Запишем преобразование координат (2) в матричной форме
(3)Где X – матрица-столбец, составленная из старых координат; Y – матрица-столбец, составленная из новых координат; B – неособенная матрица с элементами. Подставив выражение (3) в равенство
, получим 
Но, по правилу транспонирования произведения,
Следовательно, 
(4)Матрица
симметрична, так как 
а Y – матрица-столбец, составленный из переменных 
Поэтому выражение (4) является квадратичной формой от этих переменных. Её матрица равна . Таким образом, если в квадратичной форме с матрицей А перейти к новой системе координат, то в любых переменных квадратичная форма будет иметь матрицу 
где B – матрица перехода.
1.3 Определение квадратичных форм. Общий вид, канонический вид, нормальный вид.
Числовая функция а(х, у) двух векторных аргументов х, у называется билинейной, если она линейна по каждому аргументу, то есть
Здесь x, у, х1, х2, у1, у2—любые векторы пространства L, α —произвольное число.
Пусть L— линейное n-мерное пространство е1, ..., еп — базис в нем, и пусть аргументы билинейной функции разложены по этому базису:
, 
.Тогда
(1)Введем обозначения:
(2)Тогда получим
(3)Формула (3) выражает функцию а(х,у) в координатах по данному базису.
Многочлен в правой части формулы (3) называется билинейной формой. Вместе с ним билинейной формой называют и самую функцию а(х,у). Числа аikназываются коэффициентами данной формы в базисе е1, ..., еп. В качестве аргументов х, у можно рассматривать векторы как действительного, так и комплексного линейного пространства. Соответственно говорят, что форма а(х,у) дана в действительном или в комплексном пространстве. В последнем случае в качестве значений формы а(х, у) допускают комплексные числа; коэффициенты аikэтом случае также являются, вообще говоря, комплексными числами.
Пусть билинейная форма а(х,у) является симметричной: а(у,х)=а(х,у). Это равносильно тому, что в любом базисе симметрична ее матрица: А* = А. В самом деле,
Отождествим оба аргумента формы а(х,у). Тогда получим а(х,х) = а(х,у) при у = х.
Функция а(х, х) называется квадратичной формой, отвечающей данной симметричной билинейной форме а(х,у).
Исходная (симметричная) билинейная форма а(х, у) называется полярной для квадратичной формы а(х, х).