Смекни!
smekni.com

Парная линейная регрессия

Контрольная работа по эконометрике

«Парная линейная регрессия»

Вариант №6

В таблице приведены значения выручки от экспорта 1 тонны синтетического каучука за 10 кварталов и цены его на внутреннем рынке.

Период Выручка от экспорта 1 тонны, долл. Цена внутреннего рынка, долл. За 1 тонну
1-й квартал 2010 1030
2-й квартал 1190 1550
3-й квартал 1340 2180
4-й квартал 1370 2370
5-й квартал 1470 2380
6-й квартал 1510 2560
7-й квартал 1535 2590
8-й квартал 1570 2700
9-й квартал 1540 2759
10-й квартал 1635 2760

Линейное уравнение парной регрессии имеет вид:

ŷ = b0 + b1 · x

где ŷ — оценка условного математического ожидания y;

b0 , b1 — эмпирические коэффициенты регрессии, подлежащие определению.

Эмпирические коэффициенты регрессии b0 , b1 будем определять с помощью инструмента Регрессия надстройки Анализ данных табличного процессора MS Excel.

Из таблицы «Линейн» видно, что эмпирические коэффициенты регрессии соответственно равны:

b0 = 1738,671

b1 = - 0,097

Тогда уравнение парной линейной регрессии, связывающей величину выручки от экспорта yи его цены на внутреннем рынке x, имеет вид:

ŷ = 1739 – 0,097 · x

1.Рассчитайте параметры уравнения линейной зависимости выручки от экспорта 1тонны синтетического каучука от цены его на внутреннем рынке.

При помощи статистической функции «ЛИНЕЙН» получим:

Линейн
-0,096888247 1738,670621
0,129769731 305,1064952
0,065140593 222,2670586
0,55743649 8
27538,83722 395221,1628

Где соответственно

Значение коэффициента b Значение коэффициента a
Среднеквадратическое отклонение b Среднеквадратическое отклонение a
Коэффициент детерминации R2 Среднеквадратическое отклонение y
F-статистика Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов Остаточная сумма квадратов

2. Найти оценки дисперсийS2, D(b0), D(b1), D(ŷ).

а) Найдем S2

S2=∑ ei2/ n-2

Наблюдение Остатки ei Квадрат отклонений
1 371,1242736 137733,2264
2 -398,4938378 158797,3387
3 -187,4542419 35139,0928
4 -139,0454749 19333,64409
5 -38,07659241 1449,82689
6 19,36329212 374,9370817
7 47,26993954 2234,447184
8 92,92764676 8635,547532
9 68,64405335 4712,006061
10 163,7409416 26811,09596
Сумма 395221,1628

Используя данные таблицы, получим S2 = 395221,1628 / 10 – 2 = 395221,1628 / 8 = 49402,64535

б) Найдем D(b0)

D(b0) = S2 · (∑ xi2 / n ∑ (xi - x)2)

Период Цена внутреннего рынка, долл. За 1 тонну, x x - x ср. квадрат(x - x ср.) Квадрат x
1-й квартал 1030 -1257,9 1582312,41 1060900
2-й квартал 1550 -737,9 544496,41 2402500
3-й квартал 2180 -107,9 11642,41 4752400
4-й квартал 2370 82,1 6740,41 5616900
5-й квартал 2380 92,1 8482,41 5664400
6-й квартал 2560 272,1 74038,41 6553600
7-й квартал 2590 302,1 91264,41 6708100
8-й квартал 2700 412,1 169826,41 7290000
9-й квартал 2759 471,1 221935,21 7612081
10-й квартал 2760 472,1 222878,41 7617600
сумма 22879 1805190,82 8678500
Среднее значение x 2287,9

D(b0) = 49402,64535 · (8678500/ 10 ·1805190,82) = 49402,64535 · (8678500/ 18051908,2) = 49402,64535 · 0,48075 = 23750,32175

в) Найдем D(b1)

D(b1) = S2 · (1/ ∑ (xi - x)2)

D(b1) = 49402,64535 · (1/1805190,82) = 49402,64535 · 0,000000554 = 0,02737

г) Найдем D(ŷ)

D(ŷ) = S2 · ( 1 + 1/n + ((xi - x)2/∑ (xi - x)2)) = 49402,64535 · (1 + 1/10 + )

3.Постройте таблицу дисперсионного анализа.

Таблица построена при помощи инструмента Регрессия надстройки Анализ данных.

Дисперсионный анализ

df SS MS F Значимость F
Регрессия 1 27538,83722 27538,83722 0,55743649 0,476661041
Остаток 8 395221,1628 49402,64535
Итого 9 422760

4.Оцените тесноту связи с помощью коэффициента корреляции и детерминации.

В соответствии с заданием, необходимо оценить тесноту статистической связи между величиной выручки от экспорта y и ценой на внутреннем рынке x. Эту оценку можно сделать с помощью коэффициента корреляции rxy. Величина этого коэффициента в таблице «Регрессионная статистика» обозначена как множественный R и равна 0,255. Поскольку теоретически величина данного коэффициента находится в пределах от –1 до +1, то можно сделать вывод о несущественности статистической связи между величиной выручки от экспорта y и ценой на внутреннем рынке x.

Параметр R-квадрат, представленный в таблице «Регрессионная статистика» представляет собой квадрат коэффициента корреляции rxy2 и называется коэффициентом детерминации. Соответственно величина 1 - rxy2 характеризует долю дисперсии переменной y, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных. Из таблицы «Регрессионная статистика» видно, что доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет: 1 - 0,06514 = 0,93486 или 93,5%.

Таким образом, при R< 0,3 - связь слабая. В рассматриваемом случае R=0,255, 0,255< 0,3 значит модель строить нельзя.

Регрессионная статистика

Множественный R 0,255226553
R-квадрат 0,065140593
Нормированный R-квадрат -0,051716833
Стандартная ошибка 222,2670586
Наблюдения 10

5.Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

Определим среднюю ошибку аппроксимации по зависимости:

Для этого исходную таблицу дополняем двумя колонками, в которых определяем значения ŷ, рассчитанные с использованием зависимости и значения разности

.
Период Выручка от экспорта 1 тонны, долл. Y Цена внутреннего рынка, долл. За 1 тонну x ŷ
1-й квартал 2010 1030 1639,09 0,184532
2-й квартал 1190 1550 1588,65 0,335
3-й квартал 1340 2180 1527,54 0,13996
4-й квартал 1370 2370 1509,11 0,10154
5-й квартал 1470 2380 1508,14 0,02595
6-й квартал 1510 2560 1490,68 0,012795
7-й квартал 1535 2590 1487,77 0,030769
8-й квартал 1570 2700 1477,1 0,059172
9-й квартал 1540 2759 1471,377 0,04456
10-й квартал 1635 2760 1471,28 0,100135
сумма 15170 22879 1,034413

Тогда средняя ошибка аппроксимации равна:

Практически полагают, что значение средней ошибки аппроксимации не должно превышать 12—15% для грубого приближения регрессии к реальной зависимости. В нашем же случае средняя ошибка аппроксимации, т.е. среднее отклонение расчетных значений от фактических равна 10,34%. Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

6.Оцените значимость коэффициента корреляции и значимость коэффициента регрессии b1 с помощью t-критерия Стьюдента.

На этом этапе необходимо оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Технология оценки статистической значимости коэффициентов регрессии основывается на проверке нулевой гипотезы о незначимости коэффициентов регрессии. При этом проверяется выполнение условия: если tT > tКРИТ , то нулевая гипотеза отвергается и коэффициент регрессии принимается значимым. Из таблицы №3 в приложении видно, что tT для коэффициента регрессии равен -0,7466. Критическое значение tКРИТ при уровне значимости α = 0,05 равно 2,3060.

Поскольку tT <tКРИТ для коэффициента регрессии (0,7466<2,3060), то нулевая гипотеза не отвергается и объясняющая переменная x является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии.

7.Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

Из таблицы дисперсионного анализа:

Дисперсионный анализ
df SS MS F Значимость F
Регрессия 1 27538,83722 27538,837 0,5574365 0,476661041
Остаток 8 395221,1628 49402,645
Итого 9 422760

следует, что FT = 0,56. FКРИТ определяем с помощью таблицы значений F-критерия Фишера. Для модели парной линейной регрессии число степеней свободы равно 8 и n - k - 1 (где k = 1 - число объясняющих переменных). И второе число степеней свободы равно: 10 - 2 = 8. FКРИТ = 3,44. Следовательно, FT<FКРИТ (0,56<3,44) и уравнение регрессии в целом является незначимым.