Дискретная задача оптимального управления (стр. 1 из 6)

Содержание:

Введение……………………………………

1. Введение

Дискретные динамические модели управляемых систем — это довольно важный в теоретическом и практическом отношении класс математических моделей, позволяющий охватить очень широкий круг реальных объектов и соответствующих им задач управления. Они возникают как вполне естественные при моделировании дискретных процессов, таких как задачи распределения ресурсов, обработка и передача информации цифровыми электронными устройствами, либо опосредованно — при дискретизации непрерывных моделей для практических расчётов или с целью учёта неоднородности их поведения, либо чисто искусственным путём при организации различных итерационных вычислительных процедур.

К настоящему времени разработаны многочисленные точные и приближённые методы решения задач оптимального управления. Однако подавляющее их большинство относится к системам с непрерывным временем. Для систем с дискретным временем, в особенности нелинейных, их арсенал оказывается значительно беднее. Основная причина — отсутствие в общем случае дискретного аналога принципа максимума Понтрягина для непрерывных систем, вокруг которого

долгое время группировались в основном теоретические работы в области оптимального управления, основанные на методе вариаций и необходимых условиях оптимальности. Об этом свидетельствуют известные работы по дискретным системам [1-3] и др.

Значительно более продвинутыми оказываются результаты, основанные на принципе оптимальности Беллмана и общих достаточных условиях оптимальности Кротова [4]. К ним относятся условия локальной оптимальности и итерационные методы улучшения В. И. Гурмана [5]. В то же время разработано мало эффективных методов синтеза оптимального управления для нелинейных дискретных систем.

Данная работа посвящена приближённым методам синтеза законов оптимального управления на основе принципа оптимальности Кротова и глобальных оценок, которые не требуют априори хороших аналитических свойств исследуемых моделей.

Конкретно речь идет о следующих новых методах приближённого синтеза оптимального управления:

• метода полиномиальной аппроксимации решения уравнения Беллмана;

• метода траекторного восстановления функции цены.

В первом разделе описывается дискретная модель управляемой системы, рассматриваются ее методические преобразования, дается постановка общей задачи оптимального управления, в том числе, в форме синтеза.

Во втором разделе дается метод приближенного синтеза оптимального управления, как одного из способов задания функции Кро- това на основе аппроксимации решения уравнения Беллмана степенным полиномом, в том числе точечную интерполяцию и аппроксимацию по методу наименьших квадратов.

В третьем разделе предлагается метод приближенного синтеза, основанный на восстановлении так называемой функции цены.

Обсуждаются их приложения к практическим задачам, в частности к задаче оптимизации пространственного маневра вертолета и задаче об оптимальной стратегии устойчивого развития.

2. Постановка задачи

Рассматривается дискретная задача оптимального управления [4] о минимуме функционала

N-1

I(x(i),u(i)) = F(x(N)) + ^ /⁰(i,x(i),u(i))

i=0

на множестве D, определенном следующими условиями:

(1) x(i + 1) = / (i,x(i),u(i)), i = 0,1 ,...,N — 1,

x(i) e V_x(i) С Rⁿ, u(i) e V_u(i,x(i)) С R^r,

x(0) e Vx(0), x(N) e Vx(N).

В соответствии с теорией Кротова, с помощью произвольной функции p(i,x), строятся следующие конструкции:

R(i, x, u) = p(i + 1, /(i, x, u)) — p(i, x) — /о(i, x, u), G(x(0),x(N)) = F(x(N)) + p(N, x(N)) — p(0, x(0)),

P(i,x)= sup R(i,x,u), p(i) = sup P(i,x),

uЈV„(i,x(i)) x(i)eV_x(i)

m = inf G(x(0),x(N)) : x(0) e V₍x)(0),x(N) e V₍x)(N).

Задача сводится к поиску такой последовательности пар

{(x(i),u(i))_s}c D

и такой функции p (разрешающей, или функции Кротова), что выполняются достаточные условия оптимальности:

R(i,x_s(i),u_s(i)) ^ i), G(x_s(0),x_s(N)) ^ m.

3. Аппроксимации степенным полиномом

Здесь рассматривается метод приближенного синтеза оптимального управления, как одного из способов задания функции Кротова на основе аппроксимации решения уравнения Беллмана интерполяционным полиномом.

Предполагается, что V_x(0) = {x(0)} , V_x(i) = Rⁿ, i = 0,1,... ,N. В данном случае функция G(x(0),x(N)) зависит только от x(N), так как левый конец траектории закреплен.

Функция p(i,x) выбирается так, чтобы P(i,x) не зависела от x, а функция G( x(N)) не зависела от x(N) , конкретно посредством известных соотношений типа Беллмана относительно p(i, x):

• P (i, x(i)) =0,i = 0,1,...,N — 1, G(x(N)) = 0.

В общем случае их точное решение найти не удается, и приходится ограничиваться приближенными вычислениями.

Предлагаемый метод основан на аппроксимации разрешающей функции p(i,x) некоторым многомерным интерполяционным полиномом

• p(i, x) = J2 ^a(i)g_a(x),

a

где {g_a(x)} — некоторый набор заданных базисных функций, {^_a(i)} --соответствующий набор коэффициентов, подлежащих определению из условий интерполяции равенств (1):

^[фa^(i)]=[ga^(xp W)]^-^

^SUPueU (i,x(i))⁽Ea ^фа⁽ⁱ + ¹⁾ga^{(/(i,x(i),u)) — x(i), u))}в

• [Фa(N)] = [ga(xe (N ))]^-1[F (x_p (N))], а, в = 1, 2,...,M,

где в — номер узловой точки, [(-)_a] ,[(^)в],[(^)_ae] —матрицы размером (слева направо) M х 1, M х 1, M х M.

Однако в многомерных задачах при интерполяции необходимо согласование формы интерполяционного полинома и сетки узлов интерполяции, обеспечивающее обратимость матрицы [g_a(xp(i))]. Выбор этих двух элементов, в конечном счете, и определяет метод приближенного решения поставленной задачи синтеза.

В качестве интерполяционного полинома использована следующая известная в теории интерполяции конструкция:

(5)

p(i,x(i))= Ј ji = 1^mi (xi(i)j X

(j (x2 (i)j (••• Ј jn=1^mn j (i)(xn(ij)),

здесь 1j₁,j₂,...,j_n(i) —неизвестные коэффициенты интерполяционного полинома, которые подлежат вычислению и которые, в конечном счете, определяют приближенно-оптимальный синтез управления. Число этих коэффициентов совпадает на регулярной решетке с числом узловых точек и равно произведению количества узловых точек по каждой из фазовых координат M = mi • m-2 m_n.

При решении практических задач, как правило, диапазоны изменения фазовых координат либо заданы, исходя из физического смысла задачи, либо могут быть определены с помощью методов оценок множеств достижимости. Поэтому узловые линии (дискретные) для рассматриваемого интерполяционного полинома могут быть построены следующим образом. В некоторый момент времени i = i* диапазоны изменения фазовых координат разбиваются точками на mi — 1 отрезков по оси xi, на (m-2 — 1) отрезков по оси x2, и т.д. Через эти точки на каждой оси проводятся (n — 1)-мерные гиперплоскости, ортогональные этой оси. Взаимное пересечение этих гиперплоскостей определяет M = mi • m-2 m_n узловых точек. Через них проводится регулярное семейство узловых линий xp(г),в = 1, 2,..., M выбранного вида, например, семейство прямых: xp(i) = const, линейных функций: xp(i) = Kii + Ко, парабол: xp(i) = K21² + Kii + Ко, и т. д. В этом случае коэффициенты ¹&j₁,j₂,...j(i) интерполяционного полинома (5) будут либо константами, либо простыми функциями времени.

При постановке рассматриваемой задачи учитывалось только одно фазовое ограничение -- ограничение на левый конец траектории, которое в данном случае представляет собой заданную точку xo(0). Другие фазовые ограничения (или их совокупности) могут быть учтены с помощью известного метода штрафов.

Близость полученного нами приближенного синтеза оптимального управления u(i,x(i)) к строгому оптимуму можно определить с помощью следующей верхней оценки, доставляемой достаточными

N-i

Ј

i=0

+

Найденное управление тем ближе к оптимальному, чем меньше эта оценка. Возможность вычисления оценки—это важное преимущество перед «чистым» методом Беллмана. Она позволяет организовать регулярную процедуру уточнения приближённого решения за счет увеличения числа узлов интерполяции и их расположения в фазовом пространстве, а также дает критерий ее остановки.

Алгоритм описанного метода состоит из следующих этапов:

• в рассматриваемой области задаются узловые линии, и соответствующая конструкция полинома (5);

• в моменты времени i решается система уравнений (4) с начальными условиями. В результате определяются коэффициенты интерполяционного полинома и приближенный синтез оптимального управления;

• вычисляется оценка точности приближенного синтеза оптимального управления (6). Если эта оценка неудовлетворительна, то следует повторить шаги 1) и 2) с увеличением числа узловых линий;

• для найденного синтеза управления и заданных начальных условий решается система