Геометрия 10 класс Бурда академ (стр. 1 из 6)
М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова
Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів
Академічний рівень
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України
Київ
«Зодіак-ЕКО»
2010
ББК 22.151я721 Б91
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України
(наказ Міністерства освіти і науки України від 3 березня 2010 р, № 177)
Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено
наукову експертизу проводив Інститут математики Національної академії наук України; психолого-педагогічна експертизу проводив Інститут педагогіки Національної академії педагогічних наук; експерти, які здійснювали експертизу:
Г. А. Губа — вчитель-методист ЗОШ І — ІІІ ступенів № 6, м. Ясинувата, Донецька область;
1.1. Дзюба — методист Куликівського РМК, Чернігівська область;
С. І. Остапенко — вчитель-методист Володимирецького районного колегіуму, Рівненська область; В. І. Тоточенко — доцент кафедри алгебри, геометрії та математичного аналізу Херсонського державного університету, кандидат педагогічних наук
творча група розробників ПІДРУЧНИКА
Юрій КУЗНЕЦОВ — керівник проекту,
розробник концепцій: дизайну, художнього оформлення;
Михайло БУрДА, Ніна ТАрАСЕНКОВА — автори тексту і методичного апарату; Олена ПОПОВИЧ — редактор-організатор;
Андрій ВІКСЕНКО — макет, художнє оформлення;
Валентина МАКСИМОВСЬКА — організатор виробничого процесу;
Галина КУЗНЄЦОВА — економічний супровід проекту; роман КОСТЕНКО — маркетингові дослідження підручника;
Андрій КУЗНЕЦОВ — моніторинг апробації підручника
© Видавництво «Зодіак-ЕКО». Усі права захищені. Жодна частина, елемент, ідея, композиційний підхід цього видання не можуть бути скопійованими чи відтвореними в будь-якій формі та будь-якими засобами — ні електронними, ні фотомеханічними, зокрема ксерокопіюванням, записом чи комп’ютерним архівуванням, — без письмового дозволу видавця.
© М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова, 2010 © Видавництво «Зодіак-ЕКО», 2010 © Художнє оформлення.
А. М. Віксенко, 2010 © Концепції: дизайну, художнього
ISBN 978-966-7090-72-2
¦
Дорогі учні!
ЗМІСТ
4
ПОВТОРЕННЯ КУРСУ ПЛАНІМЕТРІЇ
6
| (розділ 1. | вступ до стереометрії |
| . п г к- — 'ЛІГ? .-Ж * Т Л 7 f » ¦ ¦Щ 'Z ¦ Ь " ' а • ЕЙИ Д и гГffjj* | § 1. Основні поняття та аксіоми стереометрії..........................28 § 2. Простіші многогранники та їх перерізи.............................37 |
| розділ 2. | паралельність прямих і площин у просторі |
| § 3. Взаємне розміщення двох прямих у просторі...................50 § 4. Властивості й ознака паралельних прямих у просторі......58 | |
| ришн | |
| шш | § 5. Взаємне розміщення прямої і площини.............................65 § 6. Взаємне розміщення двох площин....................................72 § 7. Властивості паралельних площин......................................81 § 8. Паралельне проектування ................................................90 |
| (розділ 3. | перпендикулярність прямих і площин у просторі |
| § 9. Перпендикулярність прямої та площини.........................108 § 10. Перпендикуляр і похила до площини..............................114 § 11. Теорема про три перпендикуляри...................................122 § 12. Залежність між паралельністю і перпендикулярністю прямих та площин............................................................130 |
136
145
§ 13. Перпендикулярні площини ... § 14. Ортогональне проектування.
Повторення вивченого ......................................................................157
відповіді та вказівки ..........................................................................167
предметний покажчик.....................................................................174
Дорогі учні!
Ви розпочинаєте вивчення стереометрії - розділу геометрії про властивості фігур у просторі. У 9 класі ви ознайомилися з деякими властивостями таких фігур. Знаєте, яке взаємне розміщення у просторі прямих і площин, як знаходити поверхні та об’єми окремих видів многогранників і тіл обертання.
Тепер ви розширите і поглибите свої знання зі стереометрії. Дізнаєтесь про аксіоми стереометрії та наслідки з них, про властивості паралельних та перпендикулярних прямої і площини, двох площин та про їх ознаки, як обчислювати у просторі відстані й кути. Виробите вміння застосовувати вивчені поняття, властивості й ознаки під час розв’язування задач та на практиці. Ви переконаєтесь, що знання і вміння зі стереометрії потрібні багатьом спеціалістам - архітекторам, будівельникам, конструкторам, токарям, фрезерувальникам та ін.
Як успішно вивчати геометрію за цим підручником? Увесь матеріал поділено на три розділи, а розділи - на параграфи. У кожному параграфі є теоретичний матеріал і задачі. Вивчаючи теорію, особливу увагу звертайте на текст, обведений рамкою. Це - найважливіші означення і властивості геометричних фігур. Їх потрібно зрозуміти, запам’ятати і вміти застосовувати під час розв’язування задач. Інші важливі відомості надруковано жирним шрифтом. Курсивом виділено терміни (наукові назви) понять.
Перевірити, як засвоєно матеріал параграфа, повторити його допоможуть запитання рубрики «Згадайте головне», які є після кожного параграфа. А після кожного розділу вміщено контрольні запитання і тестові завдання, за якими можна перевірити, як засвоєно тему.
Ознайомтеся з порадами до розв’язування задач, із розв’язаною типовою задачею.
Задачі підручника мають чотири рівні складності.
Номери задач початкового рівня складності позначено штрихом ('). Це підготовчі вправи для тих, хто не впевнений, що добре зрозумів теоретичний матеріал. Номери з кружечком (°) позначають задачі середнього рівня складності. Усім треба вміти їх розв’язувати, щоб мати змогу вивчати геометрію далі. Номери задач достатнього рівня складності не мають позначок біля номера. Навчившись розв’язувати їх, ви зможете впевнено демонструвати достатній рівень навчальних досягнень. Зірочкою (*) позначено задачі високого рівня. Якщо не зможете відразу їх розв’язати, не засмучуйтесь, а виявіть терпіння і наполегливість. Радість від розв’язання складної задачі буде вам нагородою.
Розв’язавши задачі, виділені жирним шрифтом, запам’ятайте їх формулювання. Ці геометричні твердження можна застосовувати до розв’язування інших задач.
Скориставшись рубрикою «Дізнайтеся більше», ви зможете поглибити свої знання.
У підручнику використано спеціальні позначки (піктограми). Вони допоможуть краще зорієнтуватися в навчальному матеріалі.
Ш| Прочитайте ?$] Як записати
? І Поміркуйте Як діяти
Н >Запам’ятайте [(>Типова задача
Бажаємо вам успіхів у пізнанні нового і задоволення від навчання!
ПОВТОРЕННЯ КУРСУ ПЛАНІМЕТРІЇ
У розділі повторите:
> основні поняття планіметрії;
> аксіоми - твердження, істинність яких приймають без доведень;
> основні властивості геометричних фігур та їх ознаки;
> методи розв’язування геометричних задач
опорні факти планіметрії
0| Ви знаєте, що в планіметрії основними фігурами є точка і пряма, а основними відношеннями - «належати», «лежати між», «накладання». Вони вводяться без означень. Використовуючи ці поняття, ми даємо означення іншим фігурам (променю, відрізку, куту тощо) та відношенням (рівності, подібності, паралельності тощо). Так само, кілька перших тверджень приймають як істинні без доведень. Їх називають аксіомами. Всі інші твердження доводять, спираючись на аксіоми, означення понять та раніше доведені теореми.
аксіоми ПЛАНІМЕТРІЇ
^ 1. Існують точки, що лежать на прямій, і точки, що їй не належать.
^ 2. Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки одну.
^ 3. З трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між двома іншими.
4. Будь-яка фігура F накладанням суміщається сама із собою.
5. Якщо фігура Fl накладанням суміщається з фігурою F2, то і фігура F2 накладанням суміщається з фігурою F1.
6. Якщо фігура F1 накладанням суміщається з фігурою F2, а фігура F2 - з фігурою F3, то фігура F1 накладанням суміщається з фігурою F3.
8.
Довжина-кожного відрізка
Градусна міра кута
більша за нуль.
На промені від його початку Від променя по один бік від нього
можна відкласти тільки один
відрізок даної довжини кут даної градусної міри
9.
Довжина відрізка
дорівнює сумі
Градусна міра кута
на які він розбивається
довжина відрізків
градусних мір кутів
будь-якою його точкою
будь-яким променем, що проходить між сторонами кута
10. (Аксіома паралельних прямих). Через будь-яку точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній.
и Для спрощення викладу планіметрії деякі аксіоми ми не формулювали у підручниках з геометрії для 7 — 9 класів, але ними користувалися.
кути і паралельні прямі
Р
Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними променями (мал. 1). Сума суміжних кутів дорівнює 180°.
Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є доповняльними променями сторін другого (мал. 2). Вертикальні кути рівні.