СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………………………3
1. Основные понятия теории вероятностей…………………………..…5
2. Классическое определение вероятности……………………………..10
3. Аксиомы теории вероятности…………………………………………19
Заключение……………………………………………………………………..23
Список используемой литературы………………………………………….24
Введение
Математику многие любят за её вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую вы решали на уроках математики, у всех получался один и тот же ответ – нужно было только не делать ошибок в решении.
Реальная жизнь не так проста и однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.
Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Если подбросить монету 1000 раз, то «орёл» выпадет приблизительно в половине случаев, чего никак нельзя сказать о двух или даже десяти бросаниях. Следует обратить внимание на слово «приблизительно» – закон не утверждает, что число «орлов» будет в точности 500 или окажется в промежутке от 490 до 510. Он вообще ничего не утверждает наверняка, но дает определенную степень уверенности в том, что некоторое случайное событие произойдет. Такие закономерности изучает специальный раздел математики – теория вероятностей.
Теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Это дает замечательную возможность установить многие вероятностные законы опытным путем, многократно повторяя случайные эксперименты. Материалами для этих экспериментов чаще всего будут обыкновенная монета, игральный кубик, набор домино, рулетка и даже колода карт. Каждый из этих предметов, так или иначе, связан с играми. Дело в том, что случай здесь предстает в наиболее чистом виде, и первые вероятностные задачи были связаны с оценкой шансов игроков на выигрыш.
Современная теория вероятностей ушла от азартных игр так же далеко, как геометрия от задач землеустройства, но их реквизит по-прежнему остается наиболее простым и надежным источником случая. Можно научиться вычислять вероятность случайных событий в реальных жизненных ситуациях, что позволит оценивать шансы на успех, проверять гипотезы, принимать решения не только в играх и лотереях.
Целью курсовой работы является рассмотрение элементов теории вероятностей, а также пространства элементарных частиц.
1. Основные понятия теории вероятностей
Как любой другой раздел математики, теория вероятностей имеет свой понятийный аппарат, который используется при формулировке определений, доказательстве теорем и выводе формул. Рассмотрим понятия, которые будем использовать при дальнейшем изложении теории.
Испытание – осуществление комплекса условий.
Исход испытания (элементарное событие) – любой результат который может произойти при проведении испытания.
Примеры.
1) Испытание: подбрасывается игральный кубик.
Исходы испытания:
ω1 – на верхней грани кубика появилось одно очко;
ω2 – на верхней грани кубика появилось два очка;
ω3 – на верхней грани кубика появилось три очка;
ω4 – на верхней грани кубика появилось четыре очка;
ω5 – на верхней грани кубика появилось пять очков;
ω6 – на верхней грани кубика появилось шесть очков.
Всего возможно 6 исходов испытания (или 6 элементарных события).
2) Испытание: ученик сдает экзамен.
Исходы испытания:
ω1 – ученик получил двойку;
ω2 – ученик получил тройку;
ω3 – ученик получил четверку;
ω4– ученик получил пятерку.
Всего возможно 4 исхода испытания (или 4 элементарных события).
3) Испытание: покупается лотерейный билет.
Исходы испытания:
ω1 – появился выигрышный билет;
ω2 – появился невыигрышный билет.
Всего возможно 2 исхода испытания (или 2 элементарных события).
4) Испытание: производится выстрел по мишени.
Исходы испытания:
ω1 – мишень поражена;
ω2 – мишень осталась целой.
Всего возможно 2 исхода испытания (или 2 элементарных события).
Замечание. Обозначение ω – является стандартным обозначением для элементарного события, в дальнейшем мы будем пользоваться этим обозначением.
Будем называть исходы данного испытания равновозможными, если исходы испытания имеют одинаковые шансы на появление (примеры 1, 3, 4)
Пространство элементарных событий – множество всех элементарных событий (исходов испытания), которые могут появиться при проведении испытания.
В примерах, которые были рассмотрены выше, фактически были описаны пространства элементарных событий данных испытаний.
Замечание. Число точек в пространстве элементарных событий (ПЭС), т.е. число элементарных событий в дальнейшем будем обозначать буквой n.
Массовые однородные испытания – многократное повторение испытания в одинаковых условиях.
Теперь можно более точно определить круг вопросов, которыми занимается теория вероятностей.
Теория вероятностей изучает закономерности имеющие место при проведении массовых однородных испытаний.
Рассмотрим основные определения, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.
Определение 1. Событием называется совокупность некоторого числа точек ПЭС.
События в дальнейшем мы будем обозначать большими латинскими буквами: А, В, С.
Определение 2. Событие, которое может произойти, а может и не произойти при проведении испытания, называется случайным событием.
Замечание. Любое элементарное событие так же является случайным событием.
Определение 3. Событие, которое происходит при любом исходе испытания, называется достоверным событием.
Определение 4. Событие, которое не может произойти ни при каком исходе испытания, называется невозможным событием.
Примеры.
1) Испытание: подбрасывается игральный кубик.
Событие А: на верхней грани кубика выпало четное число очков;
Событие В: на верхней грани кубика выпало число очков, кратное 3;
Событие С: на верхней грани кубика выпало 7 очков;
Событие D: не верхней грани кубика выпало число очков меньшее 7.
События А и В могут произойти, а могут и не произойти при проведении испытания, поэтому это случайные события.
Событие С не может произойти никогда, поэтому оно является невозможным событием.
Событие D происходит при любом исходе испытания, значит это достоверное событие.
2) Испытание: из коробки, содержащей 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара, наудачу вынимают 4 шара.
Событие А: все вынутые шары одного цвета;
Событие В: все вынутые шары разных цветов;
Событие С: среди вынутых шаров есть шары разных цветов;
Событие D: среди вынутых есть шары всех трех цветов.
Событие А – невозможное: нельзя вытащить из коробки четыре шара одного цвета, так как в ней только по три шара каждого цвета.
Событие В – тоже невозможное: шары в коробке трех цветов, а вынимаем мы четыре шара.
Событие С – достоверное: все четыре шара не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно есть шары хотя бы двух цветов.
Событие D – случайное: может произойти (например, когда появятся красный, красный, желтый, зеленый шары), а может и не произойти (например, когда появятся красный, красный, зеленый, зеленый шары).
Определение 5. Элементарное событие ω называется благоприятствующим для события А, если когда происходит элементарное событие ω, происходит и событие А.
Замечание. Число элементарных событий, благоприятствующих для данного события А, в дальнейшем будем обозначать буквой m.
Пример.
Испытание: подбрасывается игральный кубик.
Событие А: на верхней грани кубика выпало четное число очков;
Событие В: на верхней грани кубика выпало число очков, кратное 3.
Благоприятствующими для А событиями являются: ω2 – на верхней грани кубика появилось два очка; ω4 – на верхней грани кубика появилось четыре очка; ω6 – на верхней грани кубика появилось шесть очков; m = 3.
Благоприятствующими для В событиями являются: ω3 – на верхней грани кубика появилось три очка; ω6 – на верхней грани кубика появилось шесть очков; m = 2
Определение 6. Два события А и В называются несовместными, если они не могут произойти при одном исходе испытания. Другими словами, если появление одного события исключает появление другого.
Определение 7. Два события А и В называются совместными, если они могут произойти при одном исходе испытания, или появление одного из них не исключает появление другого.
Примеры.
1) Испытание: подбрасывается игральный кубик.
Событие А: на верхней грани кубика выпало четное число очков;
Событие В: на верхней грани кубика выпало число очков, кратное 3;
Событие С: на верхней грани кубика выпало нечётное число очков;
Событие D: на верхней грани кубика выпало число очков меньшее трех:
Событие Е: на верхней грани кубика выпало простое число очков.
События А и В являются совместными, так как если на верхней грани кубика появится 6, то произойдет и событие А и событие В.